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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Dénombrement en Python

Compléter le programme Python ci-dessous de telle sorte que la fonction factorielle retourne $n!$ où $n$ désigne un entier naturel passé en argument.
```
def factorielle(n) :
   f = ...
   for i in range(...) :
      f = ...
   return ...
```
Sur le modèle de la question précédente, écrire une fonction arrangement qui prend en arguments deux entiers naturels $n$ et $p$ et qui retourne le nombre de $p$ -uplets formés d'éléments distincts d'un ensemble à $n$ éléments.
Écrire une fonction Python qui prend en arguments deux entiers naturels $n$ et $p$ et qui retourne le nombre de combinaisons $\begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}$ .
On pourra faire appel aux fonctions définies dans les questions précédentes.

Corrigé

On utilise la définition de $n!$ :
$n! = n\times \left(n - 1\right)\times . . .\times 1$
(voir Factorielle et permutations )

Le programme Python peut être compléter de la façon suivante :
```
def factorielle(n) :
   f = 1
   for i in range(1, n+1) :
      f = f * i
   return f
```
Remarque : On rappelle que l'instruction for i in range(1, n+1) effectue une boucle pour i variant de 1 à n.
Le nombre de p-uplets formés de p éléments distincts d'un ensemble à $n$ éléments est :
$A_n^p = n \times (n - 1) \times \cdots \times (n - p+1)$ $= \dfrac{ n! }{ (n - p) !}$
(voir p-uplets formés de p éléments distincts - Arrangements)

La fonction arrangement sera donc assez similaire à la fonction factorielle :
```
def arrangement (n, p) :
   a = 1
   for i in range(n-p+1, n+1) :
      a = a * i
   return a
```
En utilisant les fonctions définies dans les questions précédentes et le fait que :
$\begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}=\frac{n!}{p!\left(n - p\right)!} = \dfrac{ A_n^p }{ p! }$ (voir Combinaisons)
on obtient la fonction Python :
```
def combinaison (n, p) :
    return arrangement(n,p)//factorielle(p)
```

Remarque : L'opérateur // effectue la division entière alors que l'opérateur / (acceptable ici aussi) effectue la division décimale.

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