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Dénombrement au poker

Au poker, on utilise un jeu de 52 cartes réparties en quatre « couleurs » (trèfle, carreau, cœur, pique), chaque couleur comportant treize « hauteurs » différentes (as, roi, dame, valet, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2).

Une main est constituée de cinq cartes différentes tirées parmi les 52 cartes du jeu.

  1. Combien de mains différentes peut-on former au poker ?

  2. Combien y a-t-il de mains comportant un carré d'as (c'est à dire les quatre as et une autre carte) ?

  3. Combien y a-t-il de mains comportant un carré (c'est à dire quatre cartes de même hauteur et une autre carte) ?

  4. Un « full » est une main composée de 3 cartes de même hauteur et de 2 autres cartes également de même hauteur (par exemple, 3 valets et 2 as).
    Combien y a-t-il de mains formant un full ?

Corrigé

  1. Combien de mains différentes peut-on former au poker ?

    Dans une main, l'ordre des cartes n'a pas d'importance et on ne peut pas avoir plusieurs fois la même carte.

    On doit donc déterminer le nombre de sous-ensembles à 5 éléments d'un ensemble de 52 éléments.

    Ce nombre est donc :

    N1=(525)=2 598 960. N_1 = \begin{pmatrix} 52 \\ 5 \end{pmatrix} = 2~598~960.

  2. Combien y a-t-il de mains comportant un carré d'as (c'est à dire les quatre as et une autre carte) ? Un carré d'as contient les quatre as, ce qui laisse une seule possibilité, et une autre carte, ce qui donne 52 - 4 = 48 possibilité.
    Au total on a donc :

    N2=1×48=48 N_2 = 1 \times 48 = 48

    mains comportant un carré d'as (d'après le principe multiplicatif).

  3. Combien y a-t-il de mains comportant un carré (c'est à dire quatre cartes de même hauteur et une autre carte) ?

    Il y a 13 hauteurs différentes au poker (as, roi, dame, valet, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2).
    D'après la question précédente, 48 mains contiennent un carré de cette hauteur.
    Au total, le nombre de mains comportant un carré est donc :

    N3=48∗13=624. N_3 = 48 * 13 = 624.

  4. Combien y a-t-il de mains formant un full ?

    Un full contient trois cartes de même hauteur.
    Pour chacune des 13 hauteurs, on choisit donc trois cartes parmi les 4 possibles (trèfle, carreau, cœur, pique) ce qui donne :

    13×(43)=13×4=52 13 \times \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = 13 \times 4 = 52 possibilités.

    Par ailleurs, les deux autres cartes sont également de même hauteur.
    Pour chacune des 12 hauteurs restantes, on choisit alors deux cartes parmi les 4 possibles ce qui donne :

    12×(42)=12×6=72 12 \times \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 12 \times 6 = 72 possibilités.

    D'après le principe multiplicatif, le nombre de mains formant un full est :

    N4=52×72=3 744 N_4 = 52 \times 72 = 3~744

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