[ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle

Prérequis :

La fonction exponentielle (notée $ \text{exp} $) vérifie $ \text{exp}^{\prime}=\text{exp} $ et $ \text{exp}\left(0\right)=1 $.
On admettra également la propriété suivante (cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires) : si $ f $ est une fonction dérivable sur un intervalle $ \left[a ; b\right] $ et si $ f\left(a\right) $ et $ f\left(b\right) $ sont de signes contraires, alors il existe $ \alpha \in \left[a ; b\right] $ tel que $ f\left(\alpha \right)=0 $.
On rappelle enfin le résultat suivant : si $ f $ est une fonction dérivable sur $ \mathbb{R} $, alors la fonction $ x\mapsto f\left(ax+b\right) $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et sa dérivée est la fonction $ x\mapsto af^{\prime}\left(ax+b\right) $.

Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right)\times \text{exp}\left( - x\right) $.

Soit $ g $ une fonction dérivable sur $ \mathbb{R} $ telle que $ g^{\prime}=g $ et $ g\left(0\right)=1 $.

On pose $ h\left(x\right)=\dfrac{g\left(x\right)}{\text{exp}\left(x\right)} $.

Montrer que, pour tout réel $ x $, $ \text{exp}\left(x\right) > 0 $ (on raisonnera par l'absurde et on utilisera le prérequis b.).
En déduire que la fonction exponentielle est strictement croissante sur $ \mathbb{R} $.

Corrigé

On pose $ u\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right) $ et $ v\left(x\right)=\text{exp}\left( - x\right) $. On a alors $ u^{\prime}\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right) $ et $ v^{\prime}\left(x\right)= - \text{exp}\left( - x\right) $ (d'après les prérequis a. et c.). Par conséquent :

$ f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right)\text{exp}\left( - x\right)+\text{exp}\left(x\right)\times \left( - \text{exp}\left( - x\right)\right)=0 $
On en déduit que $ f $ est constante sur $ \mathbb{R} $. Comme $ f\left(0\right)=\text{exp}\left(0\right)\times \text{exp}\left( - 0\right)=1 $ (d'après le prérequis a.), on a $\mathbf{f\left(x\right)=1}$ pour tout réel $ x $.
On raisonne par l'absurde. S'il existait un réel $ x_{0} $ pour lequel $ \text{exp}\left(x_{0}\right)=0 $, on aurait $ f\left(x_{0}\right)=\text{exp}\left(x_{0}\right)\text{exp}\left( - x_{0}\right)=0\times \text{exp}\left( - x_{0}\right)=0 $, ce qui contredit le résultat précédent. Donc, pour tout réel $ x $, $\mathbf{\text{exp}\left(x\right)\neq 0}$.

La fonction $ h $ est un quotient. On a :

$ h^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{g^{\prime}\left(x\right)\text{exp}\left(x\right) - g\left(x\right)\text{exp}\left(x\right)}{\left(\text{exp}\left(x\right)\right)^{2}}=\dfrac{g\left(x\right)\text{exp}\left(x\right) - g\left(x\right)\text{exp}\left(x\right)}{\left(\text{exp}\left(x\right)\right)^{2}}=0 $
Donc $ h $ est constante sur $ \mathbb{R} $ et comme $ h\left(0\right)=\dfrac{g\left(0\right)}{\text{exp}\left(0\right)}=\dfrac{1}{1}=1 $, on a $\mathbf{h\left(x\right)=1}$ pour tout réel $ x $.
On en déduit que, pour tout $ x \in \mathbb{R} $, $ \dfrac{g\left(x\right)}{\text{exp}\left(x\right)}=1 $, c'est-à-dire $ g\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right) $. La fonction $ g $ est donc la fonction exponentielle. La fonction exponentielle est ainsi la seule fonction dérivable sur $ \mathbb{R} $ vérifiant $ \text{exp}^{\prime}=\text{exp} $ et $ \text{exp}\left(0\right)=1 $.

On raisonne là encore par l'absurde. S'il existait un réel $ x_{0} $ pour lequel $ \text{exp}\left(x_{0}\right) < 0 $, comme $ \text{exp}\left(0\right)=1 > 0 $, d'après le prérequis b. (théorème des valeurs intermédiaires) il existerait un réel $ \alpha $ compris entre $ x_{0} $ et $ 0 $ tel que $ \text{exp}\left(\alpha \right)=0 $. Or ceci contredit le résultat de la question A. 3. Donc la fonction exponentielle n'est jamais strictement négative sur $ \mathbb{R} $. Comme elle ne s'annule jamais non plus, on a pour tout réel $ x $ : $\mathbf{\text{exp}\left(x\right) > 0}$.
Comme $ \text{exp}^{\prime}=\text{exp} $ est strictement positive sur $ \mathbb{R} $, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $ \mathbb{R} $.