Exercice corrigéPrérequis :
- La fonction exponentielle (notée \text{exp}) vérifie :
♦ \text{exp}^{\prime}=\text{exp}
♦ \text{exp}\left(0\right)=1 - On admettra également la propriété suivante (cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires) :
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle \left[a ; b\right] et si f\left(a\right) et f\left(b\right) sont de signes contraires, alors il existe \alpha \in \left[a ; b\right] tel que f\left(\alpha \right)=0. - On rappelle enfin le résultat suivant :
Si f est une fonction dérivable sur \mathbb{R}, alors la fonction x\mapsto f\left(ax+b\right) est dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée est la fonction x\mapsto af^{\prime}\left(ax+b\right)
Partie A
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right)\times \text{exp}\left(-x\right).
- Montrer que pour tout x \in \mathbb{R} : f^{\prime}\left(x\right)=0.
- En déduire que pour réel x, f\left(x\right)=1.
Montrez que pour tout réel x, \text{exp}\left(x\right)\neq 0
Partie B
Soit g une fonction dérivable sur \mathbb{R} telle que g^{\prime}=g et g\left(0\right)=1.
On pose h\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{\text{exp}\left(x\right)}
- Calculer h^{\prime}\left(x\right).
- En déduire que pour réel x, h\left(x\right)=1.
Que peut-on en déduire pour la fonction g ?
Partie C
- Montrer que, pour tout réel x, \text{exp}\left(x\right) > 0 (on raisonnera par l’absurde et on utilisera le prérequis b.)
- En déduire que la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}.
Corrigé
Partie A
- On pose u\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right) et v\left(x\right)=\text{exp}\left(-x\right).
On a alors u^{\prime}\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right) et v^{\prime}\left(x\right)=-\text{exp}\left(-x\right) (d’après les prérequis a. et c..
Par conséquent :
f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right)\text{exp}\left(-x\right)+\text{exp}\left(x\right)\times -\text{exp}\left(-x\right)=0 - On en déduit que f est constante sur \mathbb{R}.
Comme f\left(0\right)=\text{exp}\left(0\right)\times \text{exp}\left(-0\right)=1 (d’après le prérequis a.), f\left(x\right)=1 pour tout réel x.
On raisonne ensuite par l’absurde.
S’il existait un réel x_{0} pour lequel \text{exp}\left(x_{0}\right)=0 on aurait f\left(x_{0}\right)=\text{exp}\left(x_{0}\right)\text{exp}\left(-x_{0}\right)=0\times \text{exp}\left(-x_{0}\right)=0
ce qui contredit le résultat précédent.
Donc, pour tout réel x, \text{exp}\left(x\right)\neq 0
Partie B
- h^{\prime}\left(x\right)=\frac{g^{\prime}\left(x\right)\text{exp}\left(x\right)-g\left(x\right)\text{exp}\left(x\right)}{\left(\text{exp}\left(x\right)\right)^{2}}=\frac{g\left(x\right)\text{exp}\left(x\right)-g\left(x\right)\text{exp}\left(x\right)}{\left(\text{exp}\left(x\right)\right)^{2}}=0
- Donc h est constante sur \mathbb{R} et comme h\left(0\right)=\frac{g\left(0\right)}{exp\left(0\right)}=\frac{1}{1}=1, h\left(x\right)=1 pour réel x.
On en déduit que, pour tout x \in \mathbb{R} : \frac{g\left(x\right)}{\text{exp}\left(x\right)}=1 c’est à dire $g(x)=`exp`(x).
g est donc la fonction exponentielle.
La fonction exponentielle est donc la seule fonction dérivable sur \mathbb{R} vérifiant :
♦ \text{exp}^{\prime}=\text{exp}
♦ \text{exp}\left(0\right)=1
Partie C
- On raisonne là encore par l’absurde.
S’il existait un réel x_{0} pour lequel \text{exp}\left(x_{0}\right) < 0, comme \text{exp}\left(0\right)=1 > 0 d’après le prérequis b. (ou le théorème des valeurs intermédiaires), il existerait un réel \alpha compris entre x_{0} et 0 tel que \text{exp}\left(\alpha \right)=0.
Or ceci contredit le résultat de la question A. 2.
Donc la fonction exponentielle n’est jamais strictement négative sur \mathbb{R}. Comme elle n’est jamais nulle non plus (toujours d’après A. 2.), pour tout réel x, \text{exp}\left(x\right) > 0 - Comme \text{exp}^{\prime}=\text{exp} est strictement positive sur \mathbb{R}, la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}.
