Logarithme – Bac ES/L Métropole Réunion 2016
Exercice 4 - 6 points
Commun à tous les candidats
La courbe ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction définie et dérivable sur .
Les points et d'abscisse sont sur la courbe .
Les tangentes à la courbe aux points et sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point est horizontale.
On note la fonction dérivée de . Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
Etude graphique
Déterminer .
La tangente à la courbe passant par passe par le point de coordonnées . Déterminer une équation de cette tangente.
Donner un encadrement de l'aire, en unités d'aire et à l'unité près, du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
Déterminer la convexité de la fonction sur . Argumenter la réponse.
Partie B
Etude analytique
On admet que la fonction est définie sur par
Pour tout réel de , calculer et montrer que .
Étudier le signe de sur puis dresser le tableau de variation de sur .
Montrer que l'équation admet exactement une solution sur .
Donner une valeur approchée de à près.
En déduire le tableau de signe de sur .
On considère la fonction définie sur par
.
Montrer que est une primitive de sur .
En déduire l'aire exacte, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et . En donner ensuite une valeur arrondie au dixième.