Exercice corrigéSoit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=x^{3}-3x^{2}+1
- Déterminer les limites de f en -\infty et en +\infty
- Calculer f^{\prime}\left(x\right) pour tout x \in \mathbb{R}.
Dresser le tableau de variations de f - Combien l’équation f\left(x\right)=0 admet-elle de solutions ?
Corrigé
- \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x^{3}=-\infty
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }-3x^{2}=-\infty
Donc par somme \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x^{3}-3x^{2}+1=-\infty
Lorsque x\rightarrow +\infty on a une forme indéterminée du type «+\infty -\infty ». On lève l’indétermination en mettant x^{3} en facteur :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{3}-3x^{2}+1=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{3}\left(1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{3}}\right)
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{3}=+\infty
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{3}}=1 (par somme)
Donc par produit :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{3}\left(1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{3}}\right)=+\infty - f^{\prime}\left(x\right)=3x^{2}-6x=3x\left(x-2\right)
f^{\prime} s’annule pour x=0 et x=2 et est strictement négative sur l’intervalle \left]0 ; 2\right[
On calcule : f\left(0\right)=1 et f\left(2\right)=-3.
On obtient le tableau de variation suivant :
- f est une fonction polynôme donc continue sur \mathbb{R}.
Sur \left]-\infty ; 0 \right[, f est strictement croissante. 0 est compris entre \lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left(x\right)=-\infty et f\left(0\right)=1. Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction strictement monotone, l’équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution sur \left]-\infty ; 0 \right[.
Un raisonnement similaire montre que l’équation f\left(x\right)=0 admet également une unique solution sur \left] 0 ; 2 \right[ où f est strictement décroissante et une unique solution sur \left] 2 ; +\infty \right[ où f est strictement croissante.
Au total, l’équation f\left(x\right)=0 admet trois solutions.
Courbe représentative de la fonction f
