Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Connexion Inscription
Continuité - dérivées - convexité Exercices

Nombre de solutions d’une équation (Concours général)

Durée estimée
25 minutes
Difficulté
Votre progression

Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.

Créer un compte

Objectif travaillé

(Concours général 2005)

Soit $ f : \left[0 ; 1\right] \rightarrow \mathbb{R} $ une fonction numérique définie et continue sur l'intervalle $ \left[0 ; 1\right] $. On suppose que $ f\left(0\right)=f\left(1\right)=0 $ et que pour tout $ x $ réel de l'intervalle $ \left[0 ; \dfrac{7}{10}\right] $ :

$ f \left(x+\dfrac{3}{10}\right) \neq f\left(x\right) $

.

  1. Démontrer que l'équation $ f\left(x\right)=0 $ a au moins sept solutions sur $ \left[0 ; 1\right] $.
  2. Donner un exemple de la fonction $ f $ vérifiant les hypothèses.

Corrigé

Soit $ f $ une fonction continue sur $ [0 ; 1] $ telle que $ f(0) = f(1) = 0 $ et, pour tout $ x \in [0 ; 0{,}7] $, $ f(x+0{,}3) \neq f(x) $.

On considère la fonction auxiliaire $ g $ définie sur $ [0 ; 0{,}7] $ par :

$ g(x) = f(x+0{,}3) - f(x) $

L'hypothèse $ f(x+0{,}3) \neq f(x) $ implique que $ g(x) \neq 0 $ pour tout $ x \in [0 ; 0{,}7] $.
Comme $ f $ est continue, $ g $ est également continue sur $ [0 ; 0{,}7] $. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, comme $ g $ ne s'annule pas, elle garde un signe constant sur cet intervalle.

Supposons, par exemple, que $ g(x) > 0 $ pour tout $ x \in [0 ; 0{,}7] $. (Le raisonnement est analogue si $ g(x) < 0 $).

  1. Démonstration du nombre de solutions :

    Calculons les valeurs de $ f $ aux points $ 0{,}1 ; 0{,}3 ; 0{,}4 ; 0{,}6 ; 0{,}7 ; 0{,}9 $ et $ 1 $ :

    • $ g(0) = f(0{,}3) - f(0) = f(0{,}3) > 0 \implies f(0{,}3) > 0 $.
    • $ g(0{,}3) = f(0{,}6) - f(0{,}3) > 0 \implies f(0{,}6) > f(0{,}3) > 0 $.
    • $ g(0{,}6) = f(0{,}9) - f(0{,}6) > 0 \implies f(0{,}9) > f(0{,}6) > 0 $.
    • $ g(0{,}7) = f(1) - f(0{,}7) = -f(0{,}7) > 0 \implies f(0{,}7) < 0 $.
    • $ g(0{,}4) = f(0{,}7) - f(0{,}4) > 0 \implies f(0{,}4) < f(0{,}7) < 0 $.
    • $ g(0{,}1) = f(0{,}4) - f(0{,}1) > 0 \implies f(0{,}1) < f(0{,}4) < 0 $.

    Récapitulons les signes de $ f $ :

    • $ f(0) = 0 $ : 1ère solution.
    • $ f(0{,}1) < 0 $ et $ f(0{,}3) > 0 $ : $ f $ change de signe sur $ [0{,}1 ; 0{,}3] $. Comme $ f $ est continue, il existe $ x_2 \in ]0{,}1 ; 0{,}3[ $ tel que $ f(x_2) = 0 $ (2ème solution).
    • $ f(0{,}3) > 0 $ et $ f(0{,}4) < 0 $ : $ f $ change de signe sur $ [0{,}3 ; 0{,}4] $. Il existe $ x_3 \in ]0{,}3 ; 0{,}4[ $ tel que $ f(x_3) = 0 $ (3ème solution).
    • $ f(0{,}4) < 0 $ et $ f(0{,}6) > 0 $ : $ f $ change de signe sur $ [0{,}4 ; 0{,}6] $. Il existe $ x_4 \in ]0{,}4 ; 0{,}6[ $ tel que $ f(x_4) = 0 $ (4ème solution).
    • $ f(0{,}6) > 0 $ et $ f(0{,}7) < 0 $ : $ f $ change de signe sur $ [0{,}6 ; 0{,}7] $. Il existe $ x_5 \in ]0{,}6 ; 0{,}7[ $ tel que $ f(x_5) = 0 $ (5ème solution).
    • $ f(0{,}7) < 0 $ et $ f(0{,}9) > 0 $ : $ f $ change de signe sur $ [0{,}7 ; 0{,}9] $. Il existe $ x_6 \in ]0{,}7 ; 0{,}9[ $ tel que $ f(x_6) = 0 $ (6ème solution).
    • $ f(1) = 0 $ : 7ème solution.

    L'équation $ f(x) = 0 $ possède donc au moins sept solutions sur $ [0 ; 1] $.

  2. Exemple de fonction :

    L'idée est de construire une fonction dont la différence $ g(x) = f(x+0{,}3) - f(x) $ reste constante et strictement positive : ainsi l'hypothèse $ f(x+0{,}3) \neq f(x) $ est bien vérifiée.

    On prend une fonction affine par morceaux qui joint successivement les points :

    $ (0\,;\,0),\ (0{,}1\,;\,-3),\ (0{,}2\,;\,-1{,}5),\ (0{,}3\,;\,1),\ (0{,}4\,;\,-2),\ (0{,}5\,;\,-0{,}5),\ (0{,}6\,;\,2),\ (0{,}7\,;\,-1),\ (0{,}8\,;\,0{,}5),\ (0{,}9\,;\,3),\ (1\,;\,0) $

    Cette fonction est continue sur $ [0 ; 1] $ (fonction affine par morceaux) et vérifie $ f(0) = f(1) = 0 $.

    Les valeurs ont été choisies de sorte que, sur chaque graduation, $ f $ augmente de $ 1 $ lorsqu'on avance de $ 0{,}3 $ : on vérifie en effet que $ f(x+0{,}3) - f(x) = 1 $ pour $ x = 0\,;\,0{,}1\,;\,\dots\,;\,0{,}7 $. Comme $ f $ est affine entre deux graduations consécutives et que les points $ x $ et $ x+0{,}3 $ franchissent les graduations en même temps, $ g(x) = f(x+0{,}3) - f(x) $ est constante égale à $ 1 $ sur tout l'intervalle $ [0 ; 0{,}7] $.

    On a donc bien $ f(x+0{,}3) - f(x) = 1 \neq 0 $ pour tout $ x \in [0 ; 0{,}7] $ : cette fonction vérifie toutes les hypothèses de l'énoncé.