Nombre de solutions d’une équation (Concours général)

(Concours général 2005)
Soit f : \left[0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} une fonction numérique définie et continue sur l’intervalle \left[0 ; 1\right]. On suppose que f\left(0\right)=f\left(1\right)=0 et que pour tout x réel de l’intervalle \left[0 ; \frac{7}{10}\right] :

f \left(x+\frac{3}{10}\right) \neq f\left(x\right).

1. Démontrer que l’équation f\left(x\right)=0 a au moins sept solutions sur \left[0 ; 1\right].
2. Donner un exemple de la fonction f vérifiant les hypothèses.

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