Exercice corrigéCet exercice nécessite d’avoir étudié les chapitres «Continuité» et «Fonctions trigonométriques»
On considère l’équation :
\cos x = x
- Montrer que les éventuelles solutions de cette équation appartiennent à l’intervalle \left[0 ; 1\right].
- Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur \left[0 ; 1\right] par :
f\left(x\right) = \cos x-x
- En déduire que l’équation \cos x = x admet une unique solution sur \mathbb{R}.
A l’aide de la calculatrice, donner un encadrement, à 10^{-2} près, de cette solution.
Corrigé
- Soit \alpha un réel tel que \cos \alpha = \alpha .
Comme pour tout réel x, -1 \leqslant \cos x \leqslant 1 on en déduit que -1 \leqslant \alpha \leqslant 1.
Comme, par ailleurs, la fonction cosinus est positive ou nulle sur l’intervalle \left[-\frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2}\right], elle est positive sur l’intervalle \left[-1 ; 1\right] qui est inclus dans \left[-\frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2}\right]. Par conséquent \cos \alpha donc \alpha est positif.
Finalement, \alpha \in \left[0 ; 1\right] - f^{\prime}\left(x\right) = -\sin x-1
Sur l’intervalle \left[0; \pi \right[ (donc sur l’intervalle \left[0 ; 1\right] qui est inclus dans \left[0; \pi\right[, \sin x > -1 donc f^{\prime}\left(x\right) < 0.
f est donc strictement décroissante sur l’intervalle \left[0 ; 1\right] - \cos x = x \Leftrightarrow f\left(x\right) = 0
f est une fonction continue sur \left[0 ; 1\right] comme différence de deux fonctions continues.
f est strictement décroissante sur cet intervalle.
0 est compris entre f\left(1\right)=\cos\left(1\right)-1\approx -0,46 et f\left(0\right)=1.
Donc, d’après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution \alpha sur \left[0; 1\right].
D’après la question 1., cette solution est la seule solution sur \mathbb{R}.
A la calculatrice on vérifie que f\left(0,73\right) > 0 et f\left(0,74\right) < 0
Donc 0,73 < \alpha < 0,74
Courbe représentative de f
