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Troisième

difficileExercice corrigé

Losange dans un triangle

ABC ABC ABC est un triangle quelconque tel que AB=7 AB = 7 AB=7cm, AC=5 AC= 5 AC=5cm et BC=4 BC = 4 BC=4cm.
M MM est un point du segment [BC]. \left[ BC \right] . [BC].
La parallèle à la droite (AB) \left( AB \right) (AB) passant par M M M coupe le côté [AC] [AC] [AC] en N. N.N.
La parallèle à la droite (AC) \left( AC \right) (AC) passant par M M M coupe le côté [AB] [AB] [AB] en P. P.P.

Thalès et losange

  1. À quelle distance du point C C C faut-il placer le point M M M pour que le quadrilatère APMN APMN APMN soit un parallélogramme ?

  2. Sans utiliser le résultat de la question précédente, construire le point M MM à l'aide d'une règle non graduée et d'un compas.

Corrigé

  1. On sait déjà que APMN APMN APMN est un parallélogramme car les droites (MN) \left( MN \right) (MN) et (AP) \left( AP \right) (AP) sont parallèles ainsi que les droites (MP)et(AN). \left( MP \right) et \left( AN \right).(MP)et(AN).

    Pour que ce soit un losange il faut et il suffit que MN=MP. MN = MP. MN=MP.

    Calculons MP MP MP puis MN MN MN en utilisant le théorème de Thalès :

    • Calcul de MP MPMP

      Posons x=MC. x = MC. x=MC.

      On a alors :
      BM=BC−MC=4−x BM = BC -MC = 4 -x BM=BC−MC=4−x

      Les droites (MP) \left( MP \right) (MP) et (AC) \left( AC \right) (AC) sont parallèles ; les points B,M,C B, M, C B,M,C et les points B,P,A B, P, A B,P,A sont alignés.

      Donc, d'après le théorème de Thalès :

      BMBC=MPAC=BPAB \frac{ BM }{ BC } = \frac{ MP }{ AC } = \frac{ BP }{ AB } ​BC​​BM​​=​AC​​MP​​=​AB​​BP​​

      La première égalité donne :

      4−x4=MP5 \frac{ 4-x }{ 4 } = \frac{ MP }{ 5 } ​4​​4−x​​=​5​​MP​​

      donc, avec un produit en croix :

      4MP=5(4−x) 4 MP = 5 \left( 4-x \right) 4MP=5(4−x)

      MP=5(4−x)4. MP = \frac{ 5 \left( 4-x \right) }{ 4 }. MP=​4​​5(4−x)​​.

    • Calcul de MN

      De même, les droites (MN) \left( MN \right) (MN) et (AB) \left( AB \right) (AB) sont parallèles et les points C,M,B C, M, BC,M,B et C,N,A C, N, A C,N,A sont alignés.

      Par conséquent :

      CMBC=MNAB=CNCA \frac{ CM }{ BC } = \frac{ MN }{ AB } = \frac{ CN }{ CA } ​BC​​CM​​=​AB​​MN​​=​CA​​CN​​

      L'égalité des deux premiers quotients équivaut à :

      x4=MN7 \frac{ x }{ 4 } = \frac{ MN }{ 7 } ​4​​x​​=​7​​MN​​

      soit : 4MN=7x 4 MN = 7x 4MN=7x
      MN=7x4. MN = \frac{ 7x }{ 4 }. MN=​4​​7x​​.

    • Conclusion

      APMN APMN APMN est donc un losange si et seulement si :

      MP=MN MP = MN MP=MN

      5(4−x)4=7x4 \frac{ 5(4-x) }{ 4 } = \frac{ 7x }{ 4 } ​4​​5(4−x)​​=​4​​7x​​

      5(4−x)=7x 5 \left( 4 -x \right) = 7x 5(4−x)=7x
      20−5x=7x 20 -5x = 7x 20−5x=7x
      20=7x+5x 20 = 7x + 5x 20=7x+5x
      12x=20 12x = 2012x=20

      x=53 x = \frac{ 5 }{ 3 } x=​3​​5​​

      Il faut placer le point M M M à 53 \frac{ 5 }{ 3 } ​3​​5​​cm ( ≈1,67 \approx 1,67 ≈1,67 cm) de CCC pour que le quadrilatère APMN APMN APMN soit un parallélogramme.

  2. Les diagonales d'un losange sont des axes de symétrie de ce losange.

    Donc, si APMN APMN APMN est un losange, la droite (AM) \left( AM \right) (AM) est un axe de symétrie donc une bissectrice de l'angle PAN^ \widehat{ PAN } ​PAN​​​ qui est aussi l'angle BAC^. \widehat{ BAC }.​BAC​​​.

    Pour placer le point MMM, il suffit donc de construire au compas la bissectrice de l'angle BAC^. \widehat{ BAC }. ​BAC​​​.

    MMM est alors le point d'intersection de cette bissectrice avec le côté [BC] \left[ BC \right] [BC] :

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Méthodes

  • Calculer des longueurs avec le théorème de Thalès
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