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[Bac] Lecture graphique - Dérivée - Exponentielle

Extrait d'un exercice du Bac S Pondichéry 2013.

Le sujet complet (qui nécessite l'étude des chapitres Logarithme népérien et Primitives/intégrales) est disponible ici : Bac S Pondichéry 2013

Partie 1

On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.

évolution en fonction du temps

On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :

h(t)=a1+be−0,04th\left(t\right)= \frac{a}{1+be^{ - 0,04t}}

où aa et bb sont des constantes réelles positives, tt est la variable temps exprimée en jours et h(t)h\left(t\right) désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.

On sait qu'initialement, pour t=0t=0, le plant mesure 0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m.

Déterminer les constantes aa et bb afin que la fonction hh corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.

Partie 2

On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction ff définie sur [0;250]\left[0 ; 250\right] par

f(t)=21+19e−0,04tf\left(t\right)=\frac{2}{1+19e^{ - 0,04t}}

  1. Déterminer f′(t)f^{\prime}\left(t\right) en fonction de tt (f′f^{\prime} désignant la fonction dérivée de la fonction ff).

    En déduire les variations de la fonction ff sur l'intervalle [0;250]\left[0 ; 250\right].

  2. On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction ff.

    La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de tt.

    En utilisant le graphique, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.

Corrigé

Partie 1

D'après l'énoncé, la hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m donc :

limt→+∞h(t)=2\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }h\left(t\right)=2

Or limt→+∞a1+be−0.04t=a\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }\frac{a}{1+be^{ - 0.04t}}=a (puisque limt→+∞e−0.04t=0\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }e^{ - 0.04t}=0)

Donc a=2a=2.

Par ailleurs, pour t=0t=0, le plant mesure 0,1 m donc h(0)=0,1h\left(0\right)=0,1, c'est à dire:

a1+b=0,1\frac{a}{1+b}=0,1

0,1b=a−0,10,1b=a - 0,1

0,1b=1,90,1b=1,9

b=19b=19

On a donc :

f(t)=21+19e−0,04tf\left(t\right)=\frac{2}{1+19e^{ - 0,04t}}

Partie 2

  1. La dérivée de 1u\frac{1}{u} est −u′u2 - \frac{u^{\prime}}{u^{2}} donc :

    f′(t)=−2×19×(−0,04e−0,04t)(1+19e−0,04t)2=1,52e−0,04t(1+19e−0,04t)2f^{\prime}\left(t\right)= - \frac{2\times 19\times \left( - 0,04e^{ - 0,04t}\right)}{\left(1+19e^{ - 0,04t}\right)^{2}}=\frac{1,52e^{ - 0,04t}}{\left(1+19e^{ - 0,04t}\right)^{2}}

    Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs sur [0;250]\left[0 ; 250\right] donc ff est strictement croissante sur [0;250]\left[0 ; 250\right]

  2. La vitesse de croissance est maximale lorsque la pente de la tangente à la courbe est maximale. Sur le graphique, on voit que ceci est obtenu pour tt proche de 70 jours. La hauteur du plant est alors d'environ 1m.

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