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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Loi exponentielle - Bac S Métropole 2008

Exercice 3 (5 points)

La durée de vie, exprimée en heures, d'un agenda électronique est une variable aléatoire XX qui suit une loi exponentielle de paramètre λ\lambda où λ\lambda est un réel strictement positif.

On rappelle que pour tout t⩾0t \geqslant 0 : P(X⩽t)=∫0tλe−λxdxP\left(X \leqslant t\right)= \int_{0}^{t} \lambda e^{ - \lambda x} \text{d}x.

La fonction RR définie sur l'intervalle [0;+∞[\left[0 ; +\infty \right[ par R(t)=P(X>t)R\left(t\right)=P\left(X > t\right) est appelée fonction de fiabilité.

  1. Restitution organisée de connaissances

    1. Démontrer que pour tout t⩾0t \geqslant 0, on a R(t)=e−λtR\left(t\right)=e^{ - \lambda t}.

    2. Démontrer que la variable XX suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel s⩾0s \geqslant 0, la probabilité conditionnelle PX>t(X>t+s)P_{X > t}\left(X > t+s\right) ne dépend pas du nombre t⩾0t \geqslant 0.

  2. Dans cette question, on prendra λ=0,00026\lambda =0,00026.

    1. Calculer P(X⩽1 000)P\left(X \leqslant 1~000\right) et P(X>1 000)P\left(X > 1~000\right).

    2. Sachant que l'événement (X>1 000)\left(X > 1~000\right) est réalisé, calculer la probabilité de l'événement (X>2 000)\left(X > 2~000\right).

    3. Sachant qu'un agenda a fonctionné plus de 2 0002~000 heures, quelle est la probabilité qu'il tombe en panne avant 3 0003~000 heures ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?

Corrigé

    1. Pour tout t⩾0t\geqslant 0, les événements (X⩽t)\left(X\leqslant t\right) et (X>t)\left(X > t\right) sont complémentaires donc :

      R(t)=1−P(X⩽t)=1−∫0tλe−λxdxR\left(t\right)=1 - P\left(X\leqslant t\right)=1 - \int_{0}^{t}\lambda e^{ - \lambda x}dx

      Une primitive de la fonction x↦λe−λxx\mapsto \lambda e^{ - \lambda x} est la fonction x↦−e−λxx\mapsto - e^{ - \lambda x} donc :

      R(t)=1−[−e−λx]0t=1+(e−λt−1)=e−λtR\left(t\right)=1 - \left[ - e^{ - \lambda x}\right]_{0}^{t}=1+\left(e^{ - \lambda t} - 1\right)=e^{ - \lambda t}

    2. PX>t(X>t+s)=P((X>t)∩(X>t+s))P(X>t)P_{X > t}\left(X > t+s\right)=\frac{P\left(\left(X > t\right) \cap \left(X > t+s\right)\right)}{P\left(X > t\right)}

      Or (X>t)∩(X>t+s)=(X>t+s)\left(X > t\right) \cap \left(X > t+s\right)=\left(X > t+s\right)

      donc :

      PX>t(X>t+s)=P(X>t+s)P(X>t)=R(t+s)R(t)P_{X > t}\left(X > t+s\right)=\frac{P\left(X > t+s\right)}{P\left(X > t\right)}=\frac{R\left(t+s\right)}{R\left(t\right)}

      et d'après le a. :

      PX>t(X>t+s)=e−λ(t+s)e−λt=e−λsP_{X > t}\left(X > t+s\right)=\frac{e^{ - \lambda \left(t+s\right)}}{e^{ - \lambda t}}=e^{ - \lambda s}

      ce qui est indépendant de tt.

    1. P(X>1 000)=R(1 000)=e−1 000λ=e−0,26P\left(X > 1~000\right)=R\left(1~000\right)=e^{ - 1~000\lambda }=e^{ - 0,26}

      P(X⩽1 000)=1−R(1 000)=1−e−0,26P\left(X\leqslant 1~000\right)=1 - R\left(1~000\right)=1 - e^{ - 0,26}

    2. D'après la question 1.b. :

      PX>1 000(X>2 000)=P(X>1 000)=e−0,26P_{X > 1~000}\left(X > 2~000\right)=P\left(X > 1~000\right)=e^{ - 0,26}

    3. PX>2 000(X⩽3 000)=1−PX>2 000(X>3 000)P_{X > 2~000}\left(X\leqslant 3~000\right)=1 - P_{X > 2~000}\left(X > 3~000\right)

      Donc d'après la question 1.b. :

      PX>2 000(X⩽3 000)=1−P(X>1 )=1−e−0,26P_{X > 2~000}\left(X\leqslant 3~000\right)=1 - P\left(X > 1~\right)=1 - e^{ - 0,26}

      Ce résultat était prévisible, la loi de durée de vie étant sans vieillissement.

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