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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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[ROC] Espérance mathématique d'une loi exponentielle

L'objectif de cet exercice est de démontrer que l'espérance mathématique de la loi exponentielle de paramètre λ\lambda est 1λ\dfrac{1}{\lambda }.

Soient aa et bb deux réels quelconques et λ\lambda un réel strictement positif. On considère la fonction ff définie sur l'intervalle [0 ; +∞[[0~;~+\infty[ par :

f(x)=(ax+b)e−λx.f(x)=(ax+b)\text{e}^{ - \lambda x}.

  1. Calculer f′(x)f^{\prime}(x).

  2. Montrer qu'il existe une valeur de aa et une valeur de bb pour lesquelles, pour tout réel x⩾0x \geqslant 0, f′(x)=xe−λxf^{\prime}(x)=x\text{e}^{ - \lambda x} et déterminer ces valeurs.

  3. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue XX qui suit une loi de densité ff sur l'intervalle [a;b]\left[a;b\right] est E(X)=∫abxf(x)dxE\left(X\right)=\int_{a}^{b}xf\left(x\right)dx.

    En particulier, dans le cas de la loi exponentielle de paramètre λ>0\lambda > 0 :

    E(X)=∫0+∞λxe−λxdxE(X)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\lambda x \text{e}^{ - \lambda x}dx=limt→+∞∫0tλxe−λxdx=\lim\limits_{t \rightarrow +\infty}\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda x \text{e}^{ - \lambda x}dx.

    1. Calculer, en fonction de tt, I(t)=∫0tλxe−λxdxI(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda x \text{e}^{ - \lambda x}dx.

    2. En déduire que, pour la loi exponentielle de paramètre λ\lambda :

      E(X)=1λE(X)=\dfrac{1}{\lambda }.

Corrigé

  1. Posons u(x)=ax+bu(x)=ax+b et v(x)=e−λxv(x)=\text{e}^{ - \lambda x} ; alors :

    u′(x)=au^{\prime}(x)=a et v′(x)=−λe−λxv^{\prime}(x)= - \lambda \text{e}^{ - \lambda x}.

    Par conséquent :

    f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)f^{\prime}(x)= u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x)
    f′(x)=ae−λx−λ(ax+b)e−λx\phantom{f^{\prime}(x)}=a\text{e}^{ - \lambda x} - \lambda (ax+b)\text{e}^{ - \lambda x}
    f′(x)=(−λax+a−λb)e−λx\phantom{f^{\prime}(x)}=( - \lambda ax+a - \lambda b)\text{e}^{ - \lambda x}.

  2. f′(x)=xe−λxf^{\prime}(x)=x\text{e}^{ - \lambda x}, pour tout réel x⩾0x \geqslant 0, si et seulement si −λax+a−λb - \lambda ax+a - \lambda b est identique à xx, c'est à dire si et seulement si le couple (a ; b)(a~;~b) est solution du système :

    {−λa=1a−λb=0\begin{cases} - \lambda a = 1\\ a - \lambda b = 0 \end{cases}

    La première équation donne immédiatement a=−1λa= - \dfrac{1}{\lambda } ; puis, en remplaçant aa dans la seconde, on obtient b=−1λ2b= - \dfrac{1}{\lambda^2 }.

    Finalement, la fonction ff définie par :

    f(x)=(−1λx−1λ2)e−λxf(x)=\left( - \dfrac{1}{\lambda }x - \dfrac{1}{\lambda ^2}\right)\text{e}^{ - \lambda x}

    a pour dérivée la fonction x⟼xe−λxx \longmapsto x\text{e}^{ - \lambda x}.

    1. D'après la question précédente, la fonction x⟼(−1λx−1λ2)e−λxx \longmapsto \left( - \dfrac{1}{\lambda }x - \dfrac{1}{\lambda ^2}\right)\text{e}^{ - \lambda x} est une primitive sur [0 ; +∞[[0~;~+\infty[ de la fonction x⟼xe−λxx \longmapsto x\text{e}^{ - \lambda x}.

      On en déduit que :
      I(t)=∫0tλxe−λxdxI(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda x \text{e}^{ - \lambda x}dx
      I(t)=λ∫0txe−λxdx\phantom{I(t)} = \lambda\displaystyle\int_{0}^{t} x \text{e}^{ - \lambda x}dx
      I(t)=λ[(−1λx−1λ2)e−λx]0t\phantom{I(t)} = \lambda \left[\left( - \dfrac{1}{\lambda }x - \dfrac{1}{\lambda ^2}\right)\text{e}^{ - \lambda x}\right]_0^t
      I(t)=λ(−1λt−1λ2)e−λt−λ(−1λ2)e−λ0\phantom{I(t)} = \lambda \left( - \dfrac{1}{\lambda }t - \dfrac{1}{\lambda ^2}\right)\text{e}^{ - \lambda t} - \lambda\left( - \dfrac{1}{\lambda ^2}\right)\text{e}^{ - \lambda 0}
      I(t)=−te−λt−1λe−λt+1λ\phantom{I(t)} = - t\text{e}^{ - \lambda t} - \dfrac{1}{\lambda } \text{e}^{ - \lambda t} +\dfrac{1}{\lambda }.

    2. Lorsque tt tend vers +∞+\infty , comme λ\lambda est strictement positif −λt - \lambda t tend vers −∞ - \infty.

      Alors :

      • limt→+∞e−λt=0\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} \text{e}^{ - \lambda t} =0 (par composition)

      • limt→+∞te−λt=0\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} t\text{e}^{ - \lambda t} =0 (croissance comparée)

      donc, par somme : limt→+∞−te−λt−1λe−λt+1λ=1λ\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} - t\text{e}^{ - \lambda t} - \dfrac{1}{\lambda } \text{e}^{ - \lambda t} +\dfrac{1}{\lambda } = \dfrac{1}{\lambda }.

      On a donc bien :

      E(X)=1λ. E(X) = \dfrac{1}{\lambda }.

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