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Lois à densité Exercices

[ROC] Espérance mathématique d’une loi exponentielle

Durée estimée
20 minutes
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Objectif travaillé

L'objectif de cet exercice est de démontrer que l'espérance mathématique de la loi exponentielle de paramètre $ \lambda $ est $ \dfrac{1}{\lambda } $.

Soient $ a $ et $ b $ deux réels quelconques et $ \lambda $ un réel strictement positif. On considère la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ [0~;~+\infty[ $ par :

$ f(x)=(ax+b)\text{e}^{ - \lambda x}. $
  1. Calculer $ f^{\prime}(x) $.
  2. Montrer qu'il existe une valeur de $ a $ et une valeur de $ b $ pour lesquelles, pour tout réel $ x \geqslant 0 $, $ f^{\prime}(x)=x\text{e}^{ - \lambda x} $ et déterminer ces valeurs.

  3. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue $ X $ qui suit une loi de densité $ f $ sur l'intervalle $ \left[\alpha;\beta\right] $ est $ E\left(X\right)=\int_{\alpha}^{\beta}xf\left(x\right)dx $.

    En particulier, dans le cas de la loi exponentielle de paramètre $ \lambda > 0 $ :

    $ E(X)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\lambda x \text{e}^{ - \lambda x}dx $
    $ =\lim\limits_{t \rightarrow +\infty}\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda x \text{e}^{ - \lambda x}dx $

    .

    1. Calculer, en fonction de $ t $, $ I(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda x \text{e}^{ - \lambda x}dx $.

    2. En déduire que, pour la loi exponentielle de paramètre $ \lambda $ :

      $ E(X)=\dfrac{1}{\lambda } $

      .

Corrigé

  1. Posons $ u(x)=ax+b $ et $ v(x)=\text{e}^{ - \lambda x} $ ; alors :

    $ u^{\prime}(x)=a $ et $ v^{\prime}(x)= - \lambda \text{e}^{ - \lambda x} $.

    Par conséquent :

    $ f^{\prime}(x)= u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x) $
    $ \phantom{f^{\prime}(x)}=a\text{e}^{ - \lambda x} - \lambda (ax+b)\text{e}^{ - \lambda x} $
    $ \phantom{f^{\prime}(x)}=( - \lambda ax+a - \lambda b)\text{e}^{ - \lambda x} $.

  2. $ f^{\prime}(x)=x\text{e}^{ - \lambda x} $, pour tout réel $ x \geqslant 0 $, si et seulement si $ - \lambda ax+a - \lambda b $ est identique à $ x $, c'est à dire si et seulement si le couple $ (a~;~b) $ est solution du système :

    $ \begin{cases} - \lambda a = 1\\ a - \lambda b = 0 \end{cases} $

    La première équation donne immédiatement $ a= - \dfrac{1}{\lambda } $ ; puis, en remplaçant $ a $ dans la seconde, on obtient $ b= - \dfrac{1}{\lambda^2 } $.

    Finalement, la fonction $ f $ définie par :

    $ f(x)=\left( - \dfrac{1}{\lambda }x - \dfrac{1}{\lambda ^2}\right)\text{e}^{ - \lambda x} $

    a pour dérivée la fonction $ x \longmapsto x\text{e}^{ - \lambda x} $.

    1. D'après la question précédente, la fonction $ x \longmapsto \left( - \dfrac{1}{\lambda }x - \dfrac{1}{\lambda ^2}\right)\text{e}^{ - \lambda x} $ est une primitive sur $ [0~;~+\infty[ $ de la fonction $ x \longmapsto x\text{e}^{ - \lambda x} $.

      On en déduit que :
      $ I(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda x \text{e}^{ - \lambda x}dx $
      $ \phantom{I(t)} = \lambda\displaystyle\int_{0}^{t} x \text{e}^{ - \lambda x}dx $
      $ \phantom{I(t)} = \lambda \left[\left( - \dfrac{1}{\lambda }x - \dfrac{1}{\lambda ^2}\right)\text{e}^{ - \lambda x}\right]_0^t $
      $ \phantom{I(t)} = \lambda \left( - \dfrac{1}{\lambda }t - \dfrac{1}{\lambda ^2}\right)\text{e}^{ - \lambda t} - \lambda\left( - \dfrac{1}{\lambda ^2}\right)\text{e}^{ - \lambda 0} $
      $ \phantom{I(t)} = - t\text{e}^{ - \lambda t} - \dfrac{1}{\lambda } \text{e}^{ - \lambda t} +\dfrac{1}{\lambda } $.

    2. Lorsque $ t $ tend vers $ +\infty $, comme $ \lambda $ est strictement positif $ - \lambda t $ tend vers $ - \infty $.

      Alors :

      • $ \lim\limits_{t \rightarrow +\infty} \text{e}^{ - \lambda t} =0 $ (par composition)
      • $ \lim\limits_{t \rightarrow +\infty} t\text{e}^{ - \lambda t} =0 $ (croissance comparée)

      donc, par somme : $ \lim\limits_{t \rightarrow +\infty} - t\text{e}^{ - \lambda t} - \dfrac{1}{\lambda } \text{e}^{ - \lambda t} +\dfrac{1}{\lambda } = \dfrac{1}{\lambda } $.

      On a donc bien :

      $ E(X) = \dfrac{1}{\lambda }. $