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Résoudre graphiquement une équation avec des valeurs absolues

Méthode

Pour résoudre graphiquement des équations du type ∣x−a∣=b\left|x - a\right|=b, on utilise la propriété du cours qui dit que ∣x−a∣\left|x - a\right| représente la distance entre xx et aa (c'est à dire entre les points d'abscisses xx et aa).

Exemple

Par exemple, soit l'équation ∣x−2∣=3\left|x - 2\right|=3.

On interprète ceci comme "la distance entre x et 2 est égale à 3".

On dessine alors le graphique suivant :

Equation valeurs absolues

Sur le graphique on voit qu'il y a deux nombres situés à 3 unités du nombre 2; ce sont -1 et 5.

Donc:

S={−1;5}S=\left\{ - 1; 5\right\}

Variante 1

Pour une équation du type ∣x+a∣=b\left|x+a\right|=b on utilise le fait que x+a=x−(−a)x+a=x - \left( - a\right)

Exemple

Par exemple l'équation ∣x+2∣=3\left|x+2\right|=3 est identique à ∣x−(−2)∣=3\left|x - \left( - 2\right)\right|=3.

On applique alors la même méthode : la distance entre x et -2 est égale à 3 etc. (faites le graphique!) et on trouve :

S={−5;1}S=\left\{ - 5; 1\right\}

Variante 2

Pour une équation du type ∣mx+a∣=b\left|mx+a\right|=b on met m en facteur puis on se ramène au cas précédent en divisant chaque membre par ∣m∣\left|m\right|.

Exemple

Par exemple l'équation ∣2x−1∣=3\left|2x - 1\right|=3 donne:

∣2(x−12)∣=3\left|2\left(x - \frac{1}{2}\right)\right|=3

∣2∣×∣x−12∣=3\left|2\right|\times \left|x - \frac{1}{2}\right|=3 car ∣ab∣=∣a∣×∣b∣\left|ab\right|=\left|a\right|\times \left|b\right|

2×∣x−12∣=32\times \left|x - \frac{1}{2}\right|=3

∣x−12∣=32\left|x - \frac{1}{2}\right|=\frac{3}{2} en divisant chaque membre par 2.

On est revenu au cas précédent et on obtient :

S={−1;2}S=\left\{ - 1; 2\right\}

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