Différents types de nombres

Compléter le tableau ci-dessous avec les symboles $\in$ ou $\notin$ :

	$\mathbb{N}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{D}$	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{R}$
$- 2$	$\notin$	$\in$
$\dfrac{6}{3}$
$\sqrt{3}$
$- \dfrac{3}{5}$
$\dfrac{5}{7}$
$\left(\sqrt{2} - 1\right)^2$
$\left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$

Par exemple : $- 2 \notin \mathbb{N}$ et $- 2 \in \mathbb{Z}.$

Corrigé

	$\mathbb{N}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{D}$	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{R}$
$- 2$	$\notin$	$\in$	$\in$	$\in$	$\in$
$\dfrac{6}{3}$	$\in$	$\in$	$\in$	$\in$	$\in$
$\sqrt{3}$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\in$
$- \dfrac{3}{5}$	$\notin$	$\notin$	$\in$	$\in$	$\in$
$\dfrac{5}{7}$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\in$	$\in$
$\left(\sqrt{2} - 1\right)^2$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\notin$	$\in$
$\left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$	$\in$	$\in$	$\in$	$\in$	$\in$

Explications :

Les ensembles de nombres sont placés en ordre croissant ; donc lorsqu'un nombre appartient à un ensemble, il appartient nécessairement aux ensembles suivants.
Tous les nombres présents sont des nombres réels.
$\dfrac{6}{3}=2 \in \mathbb{N}$
$\sqrt{3}$ n'est pas un nombre rationnel donc $\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}$ ; par contre, comme tous les autres nombres de ce tableau, $\sqrt{3} \in \mathbb{R}.$
$- \dfrac{3}{5}= - 0,6 \in \mathbb{D}.$
$\dfrac{5}{7}$ n'est pas un nombre décimal car son écriture décimale est illimitée.
$\left(\sqrt{2} - 1\right)^2$ se développe grâce à l'identité remarquable :
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab+b^2$

On obtient alors :

$\left(\sqrt{2} - 1\right)^2= \sqrt{2}^2 - 2\sqrt{2}+1^2$ $=2 - 2\sqrt{2}+1=3 - 2\sqrt{2}$

Ce n'est pas un nombre rationnel car $\sqrt{2}$ est irrationnel.
$\left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$ se développe grâce à l'identité remarquable :
$(a - b)(a+b) = a^2 - b^2$

Cela donne ici :

$\left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)= \sqrt{3}^2 - \sqrt{2}^2$ $=3 - 2=1 \in \mathbb{N}$