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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Différents types de nombres

Compléter le tableau ci-dessous avec les symboles \in ou \notin :

N\mathbb{N} Z\mathbb{Z} D\mathbb{D} Q\mathbb{Q} R\mathbb{R}
2 - 2 \notin \in
63\dfrac{6}{3}
3 \sqrt{3}
35 - \dfrac{3}{5}
57\dfrac{5}{7}
(21)2\left(\sqrt{2} - 1\right)^2
(32)(3+2)\left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)

Par exemple : 2N - 2 \notin \mathbb{N} et 2Z. - 2 \in \mathbb{Z}.

Corrigé

N\mathbb{N} Z\mathbb{Z} D\mathbb{D} Q\mathbb{Q} R\mathbb{R}
2 - 2 \notin \in \in \in \in
63\dfrac{6}{3} \in \in \in \in \in
3 \sqrt{3} \notin \notin \notin \notin \in
35 - \dfrac{3}{5} \notin \notin \in \in \in
57\dfrac{5}{7} \notin \notin \notin \in \in
(21)2\left(\sqrt{2} - 1\right)^2 \notin \notin \notin \notin \in
(32)(3+2)\left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right) \in \in \in \in \in

Explications :

  • Les ensembles de nombres sont placés en ordre croissant ; donc lorsqu'un nombre appartient à un ensemble, il appartient nécessairement aux ensembles suivants.

  • Tous les nombres présents sont des nombres réels.

  • 63=2N\dfrac{6}{3}=2 \in \mathbb{N}

  • 3 \sqrt{3} n'est pas un nombre rationnel donc 3Q \sqrt{3} \notin \mathbb{Q} ; par contre, comme tous les autres nombres de ce tableau, 3R. \sqrt{3} \in \mathbb{R}.

  • 35=0,6D. - \dfrac{3}{5}= - 0,6 \in \mathbb{D}.

  • 57 \dfrac{5}{7} n'est pas un nombre décimal car son écriture décimale est illimitée.

  • (21)2\left(\sqrt{2} - 1\right)^2 se développe grâce à l'identité remarquable :

    (ab)2=a22ab+b2 (a - b)^2 = a^2 - 2ab+b^2

    On obtient alors :

    (21)2=2222+12\left(\sqrt{2} - 1\right)^2= \sqrt{2}^2 - 2\sqrt{2}+1^2=222+1=322=2 - 2\sqrt{2}+1=3 - 2\sqrt{2}

    Ce n'est pas un nombre rationnel car 2\sqrt{2} est irrationnel.

  • (32)(3+2)\left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right) se développe grâce à l'identité remarquable :

    (ab)(a+b)=a2b2 (a - b)(a+b) = a^2 - b^2

    Cela donne ici :

    (32)(3+2)=3222\left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)= \sqrt{3}^2 - \sqrt{2}^2=32=1N=3 - 2=1 \in \mathbb{N}