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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Résoudre graphiquement une inéquation avec valeurs absolues

Méthode

Pour résoudre graphiquement des inéquations du type xa<b\left|x - a\right| < b ou xab\left|x - a\right| \leqslant b ou xa>b\left|x - a\right| > b ou xab\left|x - a\right| \geqslant b , on utilise la propriété du cours qui dit que xa\left|x - a\right| représente la distance entre xx et aa (plus précisément entre les points d'abscisses xx et aa).

Exemple

Par exemple, soit l'inéquation x2<3\left|x - 2\right| < 3.

On interprète ceci comme « la distance entre x et 2 est strictement inférieure à 3 ».
On trace donc le graphique suivant :

Inéquation valeurs absolues

Sur le graphique on voit que les nombres situés à moins de 3 unités du nombre 2 sont les nombres de l'intervalle ]1;5[\left] - 1; 5\right[. Donc:

S=]1;5[S=\left] - 1; 5\right[

Si l'inéquation avait été x23\left|x - 2\right| \leqslant 3, il fallait prendre les extrémités de l'intervalle. L'ensemble des solutions était alors l'intervalle fermé:

S=[1;5]S=\left[ - 1; 5\right]

Variante 1

Pour une inéquation du type xa>b\left|x - a\right| > b l'ensemble des solutions est la réunion de deux intervalles.

Exemple

Par exemple pour l'inéquation x2>3\left|x - 2\right| > 3, les solutions sont les nombres situés à plus de 3 unités du nombre 2.

On trouve donc :

S=];1[]5;[S=\left] - \infty ; - 1\right[ \cup \left]5; \infty \right[

Variante 2

Pour une inéquation du type x+a<b\left|x+a\right| < b on utilise le fait que x+a=x(a)x+a=x - \left( - a\right).

Exemple

Par exemple l'inéquation x+2<3\left|x+2\right| < 3 est identique à x(2)<3\left|x - \left( - 2\right)\right| < 3.

On applique alors la même méthode : la distance entre x et -2 est strictement inférieure à 3 etc. (faites le graphique!) et on trouve :

S=]5;1[S=\left] - 5; 1\right[

Variante 3

Pour une inéquation du type mx+a<b\left|mx+a\right| < b on met mm en facteur puis on se ramène au cas précédent en divisant chaque membre par m\left|m\right|.

Exemple

Par exemple l'inéquation 2x1<3\left|2x - 1\right| < 3 donne:

2(x12)<3\left|2\left(x - \frac{1}{2}\right)\right| < 3

2×x12<3\left|2\right|\times \left|x - \frac{1}{2}\right| < 3 car ab=a×b\left|ab\right|=\left|a\right|\times \left|b\right|

2×x12<32\times \left|x - \frac{1}{2}\right| < 3

x12<32\left|x - \frac{1}{2}\right| < \frac{3}{2} en divisant chaque membre par 2.

On est revenu au cas précédent et on trouve:

S=]1;2[S=\left] - 1; 2\right[