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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Intervalles et encadrements (5 exercices)

Exercice 1

Compléter à l'aide du symbole ∈ \in ou ∉ \notin  :

Exercice 2

Traduire chacune des expressions suivantes

  1. à l'aide d'un encadrement ou d'une inégalité ;

  2. à l'aide du symbole ∈ \in et d'un intervalle :


Exercice 3

Recopier et compléter le tableau suivant :

intervalle inégalité / encadrement
x∈[0 ; 1] x \in \left[ 0~;~1 \right] 0⩽x⩽1 0 \leqslant x \leqslant 1
x∈[−1 ; +∞[ x \in \left[ - 1~;~ +\infty \right[ ⋯ \cdots
⋯ \cdots x<12 x < \frac{ 1 }{ 2 }
x∈]1 ; 5[ x \in \left] 1~;~ 5 \right[ ⋯ \cdots
⋯ \cdots −3⩽x<2 - 3 \leqslant x < 2

Exercice 4

Sachant que 3,141592<π<3,141593 3,141592 < \pi < 3,141593  :

  1. donner un encadrement de π \pi d'amplitude 10−2 10^{ - 2}

  2. déterminer l'arrondi à 10−4 10^{ - 4} près de π \pi

  3. Recopier et compléter les propositions suivantes à l'aide du symbole > > ou < <  :

    • π...3,1416 \pi \quad ... \quad 3,1416

    • π...3,14 \pi \quad ... \quad 3,14

    • π...227 \pi \quad ... \quad \frac{ 22 }{ 7 }

Exercice 5

Soient les intervalles I=[−1 ; 1], J=[−5 ; 4[ I = \left[ - 1~;~1 \right] ,\ J = \left[ - 5~;~4 \right[ et K=[0 ; +∞[. K = \left[ 0~;~ +\infty \right[ .

  1. Représenter I, J I,\ J et K K sur la droite réelle.

  2. Déterminer I ∪ J I\ \cup \ J , I ∩ J I\ \cap \ J , I ∪ K I\ \cup \ K, I ∩ K I\ \cap \ K, J ∪ K J\ \cup \ K, J ∩ K J\ \cap \ K .

Corrigé

Exercice 1

  • 1 ∈ [0;+∞[ 1 \ \red \in \ \left[ 0; +\infty \right[

  • −3 ∈ [−3;5[ - 3\ \red \in \ \left[ - 3; 5 \right[ (car l'intervalle est fermé en −3 - 3)

  • 4 ∉ ]4;+∞[ 4 \ \red \notin \ \left] 4; +\infty \right[ (car l'intervalle est ouvert en 4 4)

  • 45 ∈ ]−1;1[ \frac{ 4 }{ 5 } \ \red \in \ \left] - 1; 1 \right[

Exercice 2

  • xx est un nombre réel strictement supérieur à 5 5

    1. x>5 x > 5

    2. x∈]5 ; +∞[ x \in \left] 5~;~ +\infty \right[

  • xx est un nombre réel positif ou nul

    1. x⩾0 x \geqslant 0

    2. x∈[0 ; +∞[ x \in \left[ 0~;~ +\infty \right[

  • xx est un nombre réel strictement compris entre −5 - 5 et 55

    1. −5<x<5 - 5 < x < 5

    2. x∈]−5 ; 5[ x \in \left] - 5~;~5 \right[

  • xx est un nombre réel strictement positif et inférieur ou égal à 33.

    1. 0<x⩽3 0 < x \leqslant 3

    2. x∈]0 ; 3] x \in \left] 0~;~3 \right]

Exercice 3

intervalle inégalité / encadrement
x∈[0 ; 1] x \in \left[ 0~;~1 \right] 0⩽x⩽1 0 \leqslant x \leqslant 1
x∈[−1 ; +∞[ x \in \left[ - 1~;~ +\infty \right[ x⩾−1 \red {x \geqslant - 1}
x∈]−∞ ; 12[ \red{ x \in \left] - \infty ~;~\frac{ 1 }{ 2 } \right[ } x<12 x < \frac{ 1 }{ 2 }
x∈]1 ; 5[ x \in \left] 1~;~ 5 \right[ 1<x<5 \red{ 1 < x < 5 }
x∈[−3 ; 2[ \red {x \in \left[ - 3~;~ 2 \right[} −3⩽x<2 - 3 \leqslant x < 2

Exercice 4

  1. Encadrement de π \pi d'amplitude 10−2 10^{ - 2}  :

    3,14<π<3,15 3,14 < \pi < 3,15

    ( 3,14⩽π⩽3,15 3,14 \leqslant \pi \leqslant 3,15 est également correct ).

  2. Arrondi de π \pi à 10−4 10^{ - 4} près :
    π≈3,1416 \pi \approx 3,1416 à 10−4 10^{ - 4} près.

    • π<3,1416 \pi \red < 3,1416

    • π>3,14 \pi \red > 3,14

    • π<227 \pi \red < \frac{ 22 }{ 7 } (car 227≈3,1429 \frac{ 22 }{ 7 } \approx 3,1429 à 10−4 10^{ - 4} près).

Exercice 5

  1. Représentation de I, J I,\ J et K K sur la droite réelle.

    Intervalles

  2. I ∪ J=[−5 ; 4[ I\ \cup \ J = \left[ - 5~;~4 \right[
    I ∩ J=[−1 ; 1] I\ \cap \ J = \left[ - 1~;~1 \right] ,
    I ∪ K=[−1 ; +∞[ I\ \cup \ K = \left[ - 1~;~ +\infty \right[
    I ∩ K=[0 ; 1] I\ \cap \ K = \left[0~;~1 \right]
    J ∪ K=[−5 ; +∞[ J\ \cup \ K = \left[ - 5~;~ +\infty \right[
    J ∩ K=[0 ; 4[ J\ \cap \ K = \left[ 0~;~4 \right[ .

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