Étudier les variations d’une fonction à l’aide de sa dérivée
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Pour étudier les variations d'une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ :
- Étape 1 : préciser l'intervalle d'étude et calculer $f^{\prime}(x)$.
- Étape 2 : déterminer le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $I$ (factorisation, étude d'un trinôme, signe d'un quotient…).
- Étape 3 : appliquer le théorème : si $f^{\prime} \geqslant 0$ sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$ ; si $f^{\prime} \leqslant 0$ sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
- Étape 4 : dresser le tableau de variation de $f$ en indiquant le signe de $f^{\prime}$ et les valeurs de $f$ aux bornes et aux extrema.
Fonction polynôme du second degré
Étudier les variations de $f(x) = x^2 - 4x + 1$ sur $\mathbb{R}$.
Étape 1 : $f$ est un polynôme dérivable sur $\mathbb{R}$.
Étape 2 : on cherche le signe de $f^{\prime}(x) = 2x - 4$ :
$f^{\prime}(x) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$.
$f^{\prime}(x) > 0 \Leftrightarrow x > 2$ et $f^{\prime}(x) < 0 \Leftrightarrow x < 2$.
Étape 3 : $f$ est donc décroissante sur $]-\infty\,;\,2]$ et croissante sur $[2\,;\,+\infty[$.
Étape 4 : on calcule $f(2) = 4 - 8 + 1 = -3$ et on dresse le tableau de variation :
Fonction rationnelle
Étudier les variations de $g(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ sur $]2\,;\,+\infty[$.
Étape 1 : $g$ est rationnelle, dérivable sur $]2\,;\,+\infty[$.
On pose $u(x) = x + 1$ et $v(x) = x - 2$, donc $u^{\prime}(x) = 1$ et $v^{\prime}(x) = 1$.
Étape 2 : le numérateur $-3$ est strictement négatif et le dénominateur $(x - 2)^2$ est strictement positif sur $]2\,;\,+\infty[$. Donc $g^{\prime}(x) < 0$ sur tout l'intervalle.
Étape 3 : $g$ est strictement décroissante sur $]2\,;\,+\infty[$.
Étape 4 : tableau de variation de $g$ sur $]2\,;\,+\infty[$ :
Remarque
Le sens de variation s'obtient toujours par le signe de $f^{\prime}$. Une fonction peut très bien être positive partout sans être croissante : c'est le signe de la dérivée qui compte, pas celui de la fonction elle-même.
Attention
Ne pas confondre étudier le signe de $f$ et étudier le signe de $f^{\prime}$. Pour les variations, c'est uniquement la dérivée $f^{\prime}$ qui intervient.
Pour une fraction rationnelle, l'intervalle d'étude doit être inclus dans l'ensemble de définition : ne pas conclure « $g$ décroissante sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ » car $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ n'est pas un intervalle. Étudier séparément $]-\infty\,;\,2[$ et $]2\,;\,+\infty[$.