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Fonctions : Dérivées - Convexité Exercices

Coût de production et rendements décroissants

Durée estimée
25 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Une entreprise fabrique des pièces mécaniques. Le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, lorsqu'elle fabrique $ x $ centaines de pièces (avec $ x \in [0\,;15] $), est modélisé par la fonction $ C $ définie par :

$ C(x) = 0{,}05x^{3} - 0{,}9x^{2} + 8x + 5 $

On note $ \mathcal{C} $ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

En économie, le coût marginal correspond à $ C^{\prime}(x) $ : il représente le coût supplémentaire engendré par la production d'une centaine de pièces additionnelle.

  1. Calculer $ C^{\prime}(x) $.

    1. Calculer le discriminant du trinôme $ C^{\prime}(x) $ et en déduire son signe sur $ [0\,;15] $.
    2. En déduire les variations de $ C $ sur $ [0\,;15] $.

  2. Calculer $ C^{\prime\prime}(x) $.

    1. Étudier le signe de $ C^{\prime\prime}(x) $ sur $ [0\,;15] $.
    2. En déduire les intervalles sur lesquels $ C $ est convexe et ceux sur lesquels $ C $ est concave.
    3. Justifier que la courbe $ \mathcal{C} $ admet un point d'inflexion $ A $ et calculer ses coordonnées.
  3. Déterminer l'équation réduite de la tangente $ T $ à la courbe $ \mathcal{C} $ au point d'inflexion $ A $.

  4. Interprétation économique. On rappelle que le coût marginal est $ C^{\prime}(x) $.

    1. Justifier, à l'aide des questions précédentes, que le coût marginal admet un minimum sur $ [0\,;15] $ et préciser pour quelle valeur de $ x $ il est atteint.
    2. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'entreprise : que se passe-t-il pour le coût d'une pièce supplémentaire avant et après ce seuil de production ?

Corrigé

  1. La fonction $ C $ est dérivable sur $ [0\,;15] $ comme fonction polynomiale.

    $ C^{\prime}(x) = 0{,}15x^{2} - 1{,}8x + 8 $

    1. On calcule le discriminant du trinôme :

      $ \Delta = (-1{,}8)^{2} - 4 \times 0{,}15 \times 8 = 3{,}24 - 4{,}8 = -1{,}56 $

      Comme $ \Delta < 0 $, le trinôme $ C^{\prime}(x) $ ne s'annule pas et garde un signe constant, celui de son coefficient dominant $ 0{,}15 > 0 $.

      Donc $ C^{\prime}(x) > 0 $ pour tout $ x \in [0\,;15] $.

    2. Comme $ C^{\prime}(x) > 0 $ sur $ [0\,;15] $, la fonction $ C $ est strictement croissante sur $ [0\,;15] $.

      Cela est cohérent avec la situation : le coût total augmente toujours lorsque la production augmente.

  2. La dérivée $ C^{\prime} $ est dérivable sur $ [0\,;15] $ comme fonction polynomiale.

    $ C^{\prime\prime}(x) = 0{,}3x - 1{,}8 $

    1. On résout $ C^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $ :

      $ 0{,}3x - 1{,}8 \geqslant 0 \iff 0{,}3x \geqslant 1{,}8 \iff x \geqslant 6 $

      Donc $ C^{\prime\prime}(x) \leqslant 0 $ sur $ [0\,;6] $ et $ C^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $ sur $ [6\,;15] $.

    2. D'après le théorème du cours :

      • $ C $ est concave sur $ [0\,;6] $ ;
      • $ C $ est convexe sur $ [6\,;15] $.

    3. La dérivée seconde $ C^{\prime\prime} $ s'annule et change de signe en $ x = 6 $ : la courbe $ \mathcal{C} $ admet donc un point d'inflexion $ A $ d'abscisse $ 6 $.

      L'ordonnée de $ A $ est :

      $ C(6) = 0{,}05 \times 6^{3} - 0{,}9 \times 6^{2} + 8 \times 6 + 5 $

      $ C(6) = 0{,}05 \times 216 - 0{,}9 \times 36 + 48 + 5 $

      $ C(6) = 10{,}8 - 32{,}4 + 48 + 5 = 31{,}4 $

      Le point d'inflexion est donc $\mathbf{A(6\,;31{,}4)}$.

  3. L'équation de la tangente $ T $ à $ \mathcal{C} $ au point d'abscisse $ 6 $ est :

    $ y = C^{\prime}(6)(x - 6) + C(6) $

    On calcule $ C^{\prime}(6) $ :

    $ C^{\prime}(6) = 0{,}15 \times 36 - 1{,}8 \times 6 + 8 = 5{,}4 - 10{,}8 + 8 = 2{,}6 $

    D'où :

    $ y = 2{,}6(x - 6) + 31{,}4 $

    $ y = 2{,}6x - 15{,}6 + 31{,}4 $

    L'équation réduite de la tangente est $\mathbf{y = 2{,}6x + 15{,}8}$.

    Courbe du coût C avec point d'inflexion A et tangente T

  4. Interprétation économique.

    1. Le coût marginal est la fonction $ C^{\prime} $. Sa dérivée est $ C^{\prime\prime} $.

      D'après la question 2.a, $ C^{\prime\prime}(x) \leqslant 0 $ sur $ [0\,;6] $ et $ C^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $ sur $ [6\,;15] $ : la fonction $ C^{\prime} $ est donc décroissante sur $ [0\,;6] $ puis croissante sur $ [6\,;15] $.

      Le coût marginal admet donc un minimum en $ x = 6 $, qui vaut $ C^{\prime}(6) = $ $\mathbf{2{,}6}$ milliers d'euros.

    2. Tant que la production reste inférieure à $ 600 $ pièces (c'est-à-dire $ x \leqslant 6 $), le coût d'une centaine de pièces supplémentaire diminue : on parle de rendements croissants, l'entreprise gagne en efficacité au fur et à mesure qu'elle produit.

      À partir de $ 600 $ pièces ($ x \geqslant 6 $), le coût d'une centaine de pièces supplémentaire augmente : on parle de rendements décroissants. Cela peut s'expliquer par la saturation des machines, le recours à des heures supplémentaires ou à des matières premières plus coûteuses.

      Le point d'inflexion $ A $ marque donc le seuil de production à partir duquel l'entreprise entre en régime de rendements décroissants.

Pour réviser : Déterminer un point d'inflexion