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Fonctions : Dérivées - Convexité Exercices

Fonctions – Convexité – Bac ES/L Centres étrangers 2013

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

On considère la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ \left[2\,;8\right] $ par : $ f\left(x\right)=\dfrac{ - x^{2}+10x - 16}{x^{2}} $

On appelle $ \left(C\right) $ sa courbe représentative dans un repère.

  1. Montrer que pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ \left[2\,;8\right] $, on a : $ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{ - 10x+32}{x^{3}} $

    1. Étudier le signe de $ f^{\prime}\left(x\right) $ sur l'intervalle $ \left[2\,;8\right] $.
    2. En déduire le tableau de variations de $ f $ sur l'intervalle $ \left[2\,;8\right] $.

  2. On appelle $ f^{\prime\prime} $ la dérivée seconde de $ f $ sur $ \left[2\,;8\right] $.

    On admet que, pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ \left[2\,;8\right] $, on a : $ f^{\prime\prime}\left(x\right)=\dfrac{20x - 96}{x^{4}} $

    1. Montrer que $ f $ est une fonction convexe sur $ \left[4{,}8\,;8\right] $.
    2. Montrer que le point de $ \left(C\right) $ d'abscisse $ 4{,}8 $ est un point d'inflexion.

  3. On considère la fonction $ F $ définie sur $ \left[2\,;8\right] $ par : $ F\left(x\right)= - x+10\ln x +\dfrac{16}{x} $

    1. Montrer que $ F $ est une primitive de $ f $ sur $ \left[2\,;8\right] $.
    2. Calculer $ I=\displaystyle\int_{2}^{8} f\left(x\right)\,dx $

Corrigé

  1. On dérive $ f $ comme un quotient $ \dfrac{u}{v} $ avec :

    $ u(x) = -x^2 + 10x - 16 $ donc $ u'(x) = -2x + 10 $

    $ v(x) = x^2 $ donc $ v'(x) = 2x $

    On applique la formule $ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} $ :

    $ f'(x) = \dfrac{(-2x + 10)x^2 - (-x^2 + 10x - 16)(2x)}{(x^2)^2} $

    $ f'(x) = \dfrac{-2x^3 + 10x^2 - (-2x^3 + 20x^2 - 32x)}{x^4} $

    $ f'(x) = \dfrac{-2x^3 + 10x^2 + 2x^3 - 20x^2 + 32x}{x^4} $

    $ f'(x) = \dfrac{-10x^2 + 32x}{x^4} = \dfrac{x(-10x + 32)}{x^4} $

    On simplifie par $ x $ (car $ x \neq 0 $ sur $ [2\,;8] $) :

    $ f'(x) = \dfrac{-10x + 32}{x^3} $

    1. Sur $ [2\,;8] $, $ x^3 > 0 $. Le signe de $ f'(x) $ est donc celui de $ -10x + 32 $.

      $ -10x + 32 \geqslant 0 \iff -10x \geqslant -32 \iff x \leqslant 3{,}2 $.

      On a donc :

    2. $ f'(x) \geqslant 0 $ sur $ [2\,;3{,}2] $.
    3. $ f'(x) \leqslant 0 $ sur $ [3{,}2\,;8] $.

    4. Tableau de variations :

      On calcule les images :

    5. $ f(2) = \dfrac{-4 + 20 - 16}{4} = 0 $
    6. $ f(3{,}2) = \dfrac{-(3{,}2)^2 + 32 - 16}{(3{,}2)^2} = \dfrac{5{,}76}{10{,}24} = 0{,}5625 $

    7. $ f(8) = \dfrac{-64 + 80 - 16}{64} = 0 $

      Tableau de variations de f

  2. Convexité :

    1. La fonction est convexe si sa dérivée seconde est positive.
      On étudie le signe de $ f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{20x - 96}{x^4} $.

      Sur $ [2\,;8] $, $ x^4 > 0 $. Le signe dépend de $ 20x - 96 $.

      $ 20x - 96 \geqslant 0 \iff 20x \geqslant 96 \iff x \geqslant 4{,}8 $.

      Sur $ [4{,}8\,;8] $, $ f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $, donc $ f $ est convexe.

    2. La dérivée seconde $ f^{\prime\prime} $ s'annule et change de signe en $ x = 4{,}8 $ (elle est négative avant, positive après).

      Le point d'abscisse $\mathbf{4{,}8}$ est donc un point d'inflexion de la courbe $ (C) $.

  3. Primitive et intégrale :

    1. Pour montrer que $ F $ est une primitive de $ f $, on dérive $ F $ :

      $ F(x) = -x + 10\ln(x) + \dfrac{16}{x} $

      $ F'(x) = -1 + \dfrac{10}{x} - \dfrac{16}{x^2} $

      On met au même dénominateur ($ x^2 $) :

      $ F'(x) = \dfrac{-x^2 + 10x - 16}{x^2} = f(x) $

      Donc $ F $ est bien une primitive de $ f $.

    2. Calcul de l'intégrale :

      $ I = \displaystyle\int_{2}^{8} f(x)\,dx = \bigl[F(x)\bigr]_2^8 = F(8) - F(2) $

      On calcule $ F(8) $ :

      $ F(8) = -8 + 10\ln(8) + \dfrac{16}{8} = -8 + 10\ln(2^3) + 2 = -6 + 30\ln(2) $

      On calcule $ F(2) $ :

      $ F(2) = -2 + 10\ln(2) + \dfrac{16}{2} = -2 + 10\ln(2) + 8 = 6 + 10\ln(2) $

      On soustrait :

      $ I = (-6 + 30\ln(2)) - (6 + 10\ln(2)) $

      $\mathbf{I = -12 + 20\ln(2)}$