Convexité avec le logarithme népérien

1. La fonction $ f $ est dérivable sur $ ]0\,;+\infty[ $ comme somme de fonctions dérivables :

   $ f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^{2}} $

   On met au même dénominateur ($ x^{2} $) :

   $ f^{\prime}(x) = \dfrac{x}{x^{2}} - \dfrac{1}{x^{2}} = \dfrac{x - 1}{x^{2}} $

2. Sur $ ]0\,;+\infty[ $, on a $ x^{2} > 0 $. Le signe de $ f^{\prime}(x) $ est donc celui de $ x - 1 $.

   $ x - 1 \geqslant 0 \iff x \geqslant 1 $

   On en déduit :

   • $ f $ est décroissante sur $ ]0\,;1] $ ;
   • $ f $ est croissante sur $ [1\,;+\infty[ $ ;
   • $ f $ admet un minimum en $ x = 1 $ avec $ f(1) = \ln(1) + 1 = 1 $.

3. La dérivée $ f^{\prime} $ est dérivable sur $ ]0\,;+\infty[ $ comme somme de fonctions dérivables :

   $ f^{\prime\prime}(x) = -\dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{2}{x^{3}} $

   On met au même dénominateur ($ x^{3} $) :

   $ f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{-x}{x^{3}} + \dfrac{2}{x^{3}} = \dfrac{2 - x}{x^{3}} $

4. Sur $ ]0\,;+\infty[ $, on a $ x^{3} > 0 $. Le signe de $ f^{\prime\prime}(x) $ est donc celui de $ 2 - x $.

   $ 2 - x \geqslant 0 \iff x \leqslant 2 $

   On en déduit :

   • $ f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0 $ sur $ ]0\,;2] $, donc $ f $ est convexe sur $ ]0\,;2] $ ;
   • $ f^{\prime\prime}(x) \leqslant 0 $ sur $ [2\,;+\infty[ $, donc $ f $ est concave sur $ [2\,;+\infty[ $.

5. La dérivée seconde $ f^{\prime\prime} $ s'annule et change de signe en $ x = 2 $ : la courbe $ \mathcal{C}_{f} $ admet donc un point d'inflexion d'abscisse $ 2 $.

   L'ordonnée de ce point est :

   $ f(2) = \ln(2) + \dfrac{1}{2} $

   Le point d'inflexion est donc $\mathbf{A\!\left(2\,;\ln(2) + \dfrac{1}{2}\right)}$.

Pour réviser : Déterminer un point d'inflexion