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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Etude de fonction et point d'inflexion

Soit la fonction ff définie sur l'intervalle R\mathbb{R} par f(x)=xexf\left(x\right)=xe^{ - x}.

On notera Cf\mathscr C_{f} sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

  1. Calculer f(x)f^{\prime}\left(x\right) et tracer le tableau de variation de la fonction ff.

  2. Tracer la courbe Cf\mathscr C_{f}.

  3. Montrer que la courbe Cf\mathscr C_{f} admet un point d'inflexion dont on précisera les coordonnées.

Corrigé

  1. ff est dérivable comme produit de fonctions dérivables.

    Si on pose u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=exv\left(x\right)=e^{ - x} on a u(x)=1u^{\prime}\left(x\right)=1, v(x)=exv^{\prime}\left(x\right)= - e^{ - x} et :

    f(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)=exxex=(1x)exf^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)=e^{ - x} - xe^{ - x}=\left(1 - x\right)e^{ - x}

    exe^{ - x} est toujours positif donc f(x)f^{\prime}\left(x\right) est du signe de 1x1 - x c'est à dire positif ou nul si et seulement si x1x\leqslant 1.

    f(1)=e1=1ef\left(1\right)=e^{ - 1}=\frac{1}{e}

    On obtient le tableau de variation suivant :

    Exercice

  2. point d'inflexion

  3. f(x)=exxexf^{\prime}\left(x\right)=e^{ - x} - xe^{ - x} est dérivable sur R\mathbb{R} et :

    f(x)=ex(exxex)f^{\prime\prime}\left(x\right)= - e^{ - x} - \left(e^{ - x} - xe^{ - x}\right) (calcul analogue à la question 1.)

    f(x)=2ex+xex=(x2)exf^{\prime\prime}\left(x\right)= - 2e^{ - x}+xe^{ - x}=\left(x - 2\right)e^{ - x}

    ff^{\prime\prime} s'annule pour x=2x=2, est négative si x<2x < 2 et positive si x>2x > 2.

    Donc la courbe Cf\mathscr C_{f} admet un point d'inflexion AA d'abscisse 22.

    L'ordonnée de AA est f(2)=2e2=2e2f\left(2\right)=2e^{ - 2}=\frac{2}{e^{2}}