Maths-cours

Cours & exercices de mathématiques

  • Troisième
  • Seconde
  • Première
  • Terminale
  • Tle Complément.
  • Tle Expert
  • Quiz
  • 3ème
  • 2nde
  • 1ère
  • Tle
  • Tle Comp
  • Tle XP
  • Quiz

Tle Complément.

moyenExercice corrigé

Etude de fonction et point d'inflexion

Soit la fonction f définie sur l'intervalle \mathbb{R} par f\left(x\right)=xe^{-x}.
On notera \mathscr C_{f} sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

  1. Calculer f^{\prime}\left(x\right) et tracer le tableau de variation de la fonction f.
  2. Tracer la courbe \mathscr C_{f}.
  3. Montrer que la courbe \mathscr C_{f} admet un point d'inflexion dont on précisera les coordonnées.

Corrigé

  1. f est dérivable comme produit de fonctions dérivables.
    Si on pose u\left(x\right)=x et v\left(x\right)=e^{-x} on a u^{\prime}\left(x\right)=1, v^{\prime}\left(x\right)=-e^{-x} et :
    f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)=e^{-x}-xe^{-x}=\left(1-x\right)e^{-x}
    e^{-x} est toujours positif donc f^{\prime}\left(x\right) est du signe de 1-x c'est à dire positif ou nul si et seulement si x\leqslant 1.
    f\left(1\right)=e^{-1}=\frac{1}{e}
    On obtient le tableau de variation suivant :
  2. f^{\prime}\left(x\right)=e^{-x}-xe^{-x} est dérivable sur \mathbb{R} et :
    f^{\prime\prime}\left(x\right)=-e^{-x}-\left(e^{-x}-xe^{-x}\right) (calcul analogue à la question 1.)
    f^{\prime\prime}\left(x\right)=-2e^{-x}+xe^{-x}=\left(x-2\right)e^{-x}
    f^{\prime\prime} s'annule pour x=2, est négative si x < 2 et positive si x > 2.
    Donc la courbe \mathscr C_{f} admet un point d'inflexion A d'abscisse 2.
    L'ordonnée de A est f\left(2\right)=2e^{-2}=\frac{2}{e^{2}}
  Signaler une erreur

Dans ce chapitre...

Cours

  • Fonctions : Dérivées - Convexité

Exercices

  • facileConvexité - Lecture graphique
  • moyenConvexité et point d'inflexion
  • moyenFonctions - Convexité - Bac ES/L Centres étrangers 2013

VOIR AUSSI...

  • tableau de signe
  • loi de probabilité
  • fonction trigonométrique
  • suite géométrique
  • théorème de thalès
  • polynôme second degré
  • limites
  • fonction affine
  • théorème de pythagore
  • fonction exponentielle
  • division euclidienne
  • trigonométrie
  • python en seconde
  • fonction paire
  • loi normale
  • algorithme de dijkstra
  • tableau de variation
  • fonction dérivée

© 2021 - Maths-cours.fr - Nous contacter

Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. Si vous continuez à utiliser ce dernier, nous considérerons que vous acceptez l'utilisation des cookies.Ok