Exercice corrigéSoit la fonction f définie sur l’intervalle \mathbb{R} par f\left(x\right)=xe^{-x}.
On notera \mathscr C_{f} sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
- Calculer f^{\prime}\left(x\right) et tracer le tableau de variation de la fonction f.
- Tracer la courbe \mathscr C_{f}.
- Montrer que la courbe \mathscr C_{f} admet un point d’inflexion dont on précisera les coordonnées.
Corrigé
- f est dérivable comme produit de fonctions dérivables.
Si on pose u\left(x\right)=x et v\left(x\right)=e^{-x} on a u^{\prime}\left(x\right)=1, v^{\prime}\left(x\right)=-e^{-x} et :
f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)=e^{-x}-xe^{-x}=\left(1-x\right)e^{-x}
e^{-x} est toujours positif donc f^{\prime}\left(x\right) est du signe de 1-x c’est à dire positif ou nul si et seulement si x\leqslant 1.
f\left(1\right)=e^{-1}=\frac{1}{e}
On obtient le tableau de variation suivant :
-
- f^{\prime}\left(x\right)=e^{-x}-xe^{-x} est dérivable sur \mathbb{R} et :
f^{\prime\prime}\left(x\right)=-e^{-x}-\left(e^{-x}-xe^{-x}\right) (calcul analogue à la question 1.)
f^{\prime\prime}\left(x\right)=-2e^{-x}+xe^{-x}=\left(x-2\right)e^{-x}
f^{\prime\prime} s’annule pour x=2, est négative si x < 2 et positive si x > 2.
Donc la courbe \mathscr C_{f} admet un point d’inflexion A d’abscisse 2.
L’ordonnée de A est f\left(2\right)=2e^{-2}=\frac{2}{e^{2}}
