Étude de fonction et point d’inflexion
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Soit la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=xe^{ - x} $.
On notera $ \mathscr C_{f} $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
- Calculer $ f^{\prime}\left(x\right) $ et tracer le tableau de variation de la fonction $ f $.
- Tracer la courbe $ \mathscr C_{f} $.
- Montrer que la courbe $ \mathscr C_{f} $ admet un point d'inflexion dont on précisera les coordonnées.
Corrigé
$ f $ est dérivable comme produit de fonctions dérivables.
Si on pose $ u\left(x\right)=x $ et $ v\left(x\right)=e^{ - x} $ on a $ u^{\prime}\left(x\right)=1 $, $ v^{\prime}\left(x\right)= - e^{ - x} $ et :
$ f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)=e^{ - x} - xe^{ - x}=\left(1 - x\right)e^{ - x} $
$ e^{ - x} $ est toujours positif donc $ f^{\prime}\left(x\right) $ est du signe de $ 1 - x $ c'est à dire positif ou nul si et seulement si $ x\leqslant 1 $.
$ f\left(1\right)=e^{ - 1}=\dfrac{1}{e} $
On obtient le tableau de variation suivant :
$ f^{\prime}\left(x\right)=e^{ - x} - xe^{ - x} $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et :
$ f^{\prime\prime}\left(x\right)= - e^{ - x} - \left(e^{ - x} - xe^{ - x}\right) $ (calcul analogue à la question 1.)
$ f^{\prime\prime}\left(x\right)= - 2e^{ - x}+xe^{ - x}=\left(x - 2\right)e^{ - x} $
$ f^{\prime\prime} $ s'annule pour $ x=2 $, est négative si $ x < 2 $ et positive si $ x > 2 $.
Donc la courbe $ \mathscr C_{f} $ admet un point d'inflexion $ A $ d'abscisse $ 2 $.
L'ordonnée de $ A $ est $ f\left(2\right)=2e^{ - 2}=\dfrac{2}{e^{2}} $