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Fonctions : Dérivées - Convexité Entraînement

QCM : Variations d’une fonction et signe de la dérivée

Durée estimée
5 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

Ce QCM porte sur le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation d'une fonction, ainsi que sur la recherche d'extremums. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.

Déroulement pas à pas (Correction et Indices)

Question 1 :

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ telle que $f'(x) > 0$ sur $I$. Que peut-on en déduire ?

  • (Incorrect) $f$ est strictement décroissante sur $I$
  • (Incorrect) $f$ est positive sur $I$
  • (Correct) $f$ est strictement croissante sur $I$
  • (Incorrect) $f$ admet un maximum sur $I$
Question 2 :

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4x + 1$. Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?

  • (Correct) $]-\infty\,;\,2]$
  • (Incorrect) $[2\,;\,+\infty[$
  • (Incorrect) $]-\infty\,;\,4]$
  • (Incorrect) $\mathbb{R}$
Question 3 :

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3$. Que peut-on dire des variations de $f$ ?

  • (Incorrect) $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$
  • (Correct) $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$
  • (Incorrect) $f$ admet un minimum en $0$
  • (Incorrect) $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$
Question 4 :

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. À quelle condition $f$ admet-elle un extremum local en $a$ (au sens des conditions du cours) ?

  • (Incorrect) Il suffit que $f'(a) = 0$
  • (Incorrect) Il suffit que $f(a) = 0$
  • (Correct) Il faut que $f'(a) = 0$ et que $f'$ change de signe en $a$
  • (Incorrect) Il faut que $f$ soit constante autour de $a$
Question 5 :

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x$. En quelles valeurs $f$ admet-elle des extremums locaux ?

  • (Incorrect) En $x = 0$ uniquement
  • (Incorrect) En $x = 3$ et $x = -3$
  • (Correct) En $x = -1$ et $x = 1$
  • (Incorrect) En $x = \sqrt{3}$ uniquement
Question 6 :

On lit dans un tableau de variations que $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,3]$ et décroissante sur $[3\,;\,+\infty[$. Que peut-on dire de $f$ en $x = 3$ ?

  • (Incorrect) $f$ admet un minimum local en $3$
  • (Correct) $f$ admet un maximum local en $3$
  • (Incorrect) $f(3) = 0$
  • (Incorrect) $f'(3)$ n'existe pas