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Seconde

Méthode

Résoudre graphiquement une inéquation avec valeurs absolues

Méthode

Pour résoudre graphiquement des inéquations du type ∣x−a∣<b\left|x - a\right| < b∣x−a∣<b ou ∣x−a∣⩽b\left|x - a\right| \leqslant b∣x−a∣⩽b ou ∣x−a∣>b\left|x - a\right| > b∣x−a∣>b ou ∣x−a∣⩾b\left|x - a\right| \geqslant b ∣x−a∣⩾b, on utilise la propriété du cours qui dit que ∣x−a∣\left|x - a\right|∣x−a∣ représente la distance entre xxx et aaa (plus précisément entre les points d'abscisses xxx et aaa).

Exemple

Par exemple, soit l'inéquation ∣x−2∣<3\left|x - 2\right| < 3∣x−2∣<3.

On interprète ceci comme « la distance entre x et 2 est strictement inférieure à 3 ».

On trace donc le graphique suivant :

Inéquation valeurs absolues

Sur le graphique on voit que les nombres situés à moins de 3 unités du nombre 2 sont les nombres de l'intervalle ]−1;5[\left] - 1; 5\right[]−1;5[. Donc:

S=]−1;5[S=\left] - 1; 5\right[S=]−1;5[

Si l'inéquation avait été ∣x−2∣⩽3\left|x - 2\right| \leqslant 3∣x−2∣⩽3, il fallait prendre les extrémités de l'intervalle. L'ensemble des solutions était alors l'intervalle fermé:

S=[−1;5]S=\left[ - 1; 5\right]S=[−1;5]

Variante 1

Pour une inéquation du type ∣x−a∣>b\left|x - a\right| > b∣x−a∣>b l'ensemble des solutions est la réunion de deux intervalles.

Exemple

Par exemple pour l'inéquation ∣x−2∣>3\left|x - 2\right| > 3∣x−2∣>3, les solutions sont les nombres situés à plus de 3 unités du nombre 2.

On trouve donc :

S=]−∞;−1[∪]5;∞[S=\left] - \infty ; - 1\right[ \cup \left]5; \infty \right[S=]−∞;−1[∪]5;∞[

Variante 2

Pour une inéquation du type ∣x+a∣<b\left|x+a\right| < b∣x+a∣<b on utilise le fait que x+a=x−(−a)x+a=x - \left( - a\right)x+a=x−(−a).

Exemple

Par exemple l'inéquation ∣x+2∣<3\left|x+2\right| < 3∣x+2∣<3 est identique à ∣x−(−2)∣<3\left|x - \left( - 2\right)\right| < 3∣x−(−2)∣<3.

On applique alors la même méthode : la distance entre x et -2 est strictement à 3 etc. (faites le graphique!) et on trouve :

S=]−5;1[S=\left] - 5; 1\right[S=]−5;1[

Variante 3

Pour une inéquation du type ∣mx+a∣<b\left|mx+a\right| < b∣mx+a∣<b on met mmm en facteur puis on se ramène au cas précédent en divisant chaque membre par ∣m∣\left|m\right|∣m∣.

Exemple

Par exemple l'inéquation ∣2x−1∣<3\left|2x - 1\right| < 3∣2x−1∣<3 donne:

∣2(x−12)∣<3\left|2\left(x - \frac{1}{2}\right)\right| < 3​∣​∣​∣​∣​​2(x−​2​​1​​)​∣​∣​∣​∣​​<3

∣2∣×∣x−12∣<3\left|2\right|\times \left|x - \frac{1}{2}\right| < 3∣2∣×​∣​∣​∣​∣​​x−​2​​1​​​∣​∣​∣​∣​​<3 car ∣ab∣=∣a∣×∣b∣\left|ab\right|=\left|a\right|\times \left|b\right|∣ab∣=∣a∣×∣b∣

2×∣x−12∣<32\times \left|x - \frac{1}{2}\right| < 32×​∣​∣​∣​∣​​x−​2​​1​​​∣​∣​∣​∣​​<3

∣x−12∣<32\left|x - \frac{1}{2}\right| < \frac{3}{2}​∣​∣​∣​∣​​x−​2​​1​​​∣​∣​∣​∣​​<​2​​3​​ en divisant chaque membre par 2.

On est revenu au cas précédent et on trouve:

S=]−1;2[S=\left] - 1; 2\right[S=]−1;2[

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Dans ce chapitre...

Cours

  • Ensembles de nombres - Intervalles - Valeurs absolues

Exercices

  • moyenDifférents types de nombres
  • moyenEnsembles de nombres : appartenance et inclusion

Méthodes

  • Résoudre graphiquement une équation avec des valeurs absolues

QCM

  • moyenQCM : Equations avec valeurs absolues
  • moyenQCM : Inéquations avec valeurs absolues

Compléments

  • Écriture fractionnaire d'un nombre

Quiz

  • moyenValeurs absolues

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