Méthode
Pour résoudre graphiquement des inéquations du type \left|x-a\right| < b ou \left|x-a\right| \leqslant b ou \left|x-a\right| > b ou \left|x-a\right| \geqslant b , on utilise la propriété du cours qui dit que \left|x-a\right| représente la distance entre x et a (plus précisément entre les points d’abscisses x et a).
Exemple
Par exemple, soit l’inéquation \left|x-2\right| < 3.
On interprète ceci comme « la distance entre x et 2 est strictement inférieure à 3« . On fait donc le graphique suivant :
Sur le graphique on voit que les nombres situés à moins de 3 unités du nombre 2 sont les nombres de l’intervalle \left]-1; 5\right[. Donc:
S=\left]-1; 5\right[
Si l’inéquation avait été \left|x-2\right| \leqslant 3 il fallait prendre les extrémités de l’intervalle. L’ensemble des solutions était alors l’intervalle fermé:
S=\left[-1; 5\right]
Variante 1
Pour une inéquation du type \left|x-a\right| > b l’ensemble des solutions est la réunion de deux intervalles.
Exemple
Par exemple pour l’inéquation \left|x-2\right| > 3, les solutions sont les nombres situés à plus de 3 unités du nombre 2. On trouve donc :
S=\left]-\infty ; -1\right[ \cup \left]5; \infty \right[
Variante 2
Pour une inéquation du type \left|x+a\right| < b on utilise le fait que x+a=x-\left(-a\right).
Exemple
Par exemple l’inéquation \left|x+2\right| < 3 est identique à \left|x-\left(-2\right)\right| < 3. On applique alors la même méthode : la distance entre x et -2 est strictement à 3 etc. (faites le graphique!) et on trouve :
S=\left]-5; 1\right[
Variante 3
Pour une inéquation du type \left|mx+a\right| < b on met m en facteur puis on se ramène au cas précédent en divisant chaque membre par \left|m\right|.
Exemple
Par exemple l’inéquation \left|2x-1\right| < 3 donne:
\left|2\left(x-\frac{1}{2}\right)\right| < 3
\left|2\right|\times \left|x-\frac{1}{2}\right| < 3 car \left|ab\right|=\left|a\right|\times \left|b\right|
2\times \left|x-\frac{1}{2}\right| < 3
\left|x-\frac{1}{2}\right| < \frac{3}{2} en divisant chaque membre par 2.
On est revenu au cas précédent et on trouve:
S=\left]-1; 2\right[
