Résoudre graphiquement une inéquation avec valeurs absolues

Exemple

Par exemple, soit l'inéquation $\left|x - 2\right| < 3$.

On interprète ceci comme « la distance entre x et 2 est strictement inférieure à 3 ».

On trace donc le graphique suivant :

Sur le graphique on voit que les nombres situés à moins de 3 unités du nombre 2 sont les nombres de l'intervalle $\left] - 1; 5\right[$. Donc:

$S=\left] - 1; 5\right[$

Si l'inéquation avait été $\left|x - 2\right| \leqslant 3$, il fallait prendre les extrémités de l'intervalle. L'ensemble des solutions était alors l'intervalle fermé:

$S=\left[ - 1; 5\right]$

Exemple

Par exemple pour l'inéquation $\left|x - 2\right| > 3$, les solutions sont les nombres situés à plus de 3 unités du nombre 2.

On trouve donc :

$S=\left] - \infty ; - 1\right[ \cup \left]5; \infty \right[$

Exemple

Par exemple l'inéquation $\left|x+2\right| < 3$ est identique à $\left|x - \left( - 2\right)\right| < 3$.

On applique alors la même méthode : la distance entre x et -2 est strictement à 3 etc. (faites le graphique!) et on trouve :

$S=\left] - 5; 1\right[$

Exemple

Par exemple l'inéquation $\left|2x - 1\right| < 3$ donne:

$\left|2\left(x - \frac{1}{2}\right)\right| < 3$

$\left|2\right|\times \left|x - \frac{1}{2}\right| < 3$ car $\left|ab\right|=\left|a\right|\times \left|b\right|$

$2\times \left|x - \frac{1}{2}\right| < 3$

$\left|x - \frac{1}{2}\right| < \frac{3}{2}$ en divisant chaque membre par 2.

On est revenu au cas précédent et on trouve:

$S=\left] - 1; 2\right[$