Volumes – Brevet Métropole 2018
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Le gros globe de cristal est un trophée attribué au vainqueur de la coupe du monde de ski.
Ce trophée pèse 9 kg et mesure 46 cm de hauteur.
Le biathlète français Martin Fourcade a remporté le sixième gros globe de cristal de sa carrière en 2017 à Pyeongchang en Corée du Sud.
Donner approximativement la latitude et la longitude de ce lieu repéré sur la carte ci-dessous.
On considère que ce globe est composé d'un cylindre en cristal de diamètre 6cm, surmonté d'une boule de cristal. Voir schéma ci -dessous.
Montrer qu'une valeur approchée du volume de la boule de ce trophée est de $ 6~371~\text{cm}^3 $.
- Marie affirme que le volume de la boule de cristal représente environ 90 % du volume total du trophée.
A-t-elle raison ?
Rappels :
Volume d'une boule de rayon $ R $ : $ V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 $
Volume d'un cylindre de rayon $ r $ et de hauteur $ h~: V =\pi r^2h $.
Corrigé
- En lisant la position de Pyeongchang sur la mappemonde, on relève approximativement une latitude de $ 38^{\circ} $ Nord et une longitude de $ 128^{\circ} $ Est.
D'après le schéma, la boule a une hauteur de $ 23 $ cm : son diamètre vaut donc $ 23 $ cm et son rayon $ R = \dfrac{23}{2} = 11{,}5 $ cm.
Le volume de la boule est :
$ V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 11{,}5^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 1\,520{,}875 \approx 6\,371\, \text{cm}^3. $Une valeur approchée du volume de la boule est bien $ 6\,371\, \text{cm}^3 $.
Le cylindre a pour diamètre $ 6 $ cm, donc pour rayon $ r = 3 $ cm, et pour hauteur $ h = 23 $ cm (d'après le schéma).
Son volume est :
$ V_{\text{cylindre}} = \pi r^2 h = \pi \times 3^2 \times 23 = 207\pi \approx 650{,}3\, \text{cm}^3. $Le volume total du trophée est :
$ V_{\text{total}} = V_{\text{boule}} + V_{\text{cylindre}} \approx 6\,371 + 650{,}3 \approx 7\,021{,}3\, \text{cm}^3. $La proportion du volume de la boule dans le volume total est :
$ \dfrac{V_{\text{boule}}}{V_{\text{total}}} \approx \dfrac{6\,371}{7\,021{,}3} \approx 0{,}907, $soit environ $ 90{,}7\, \% $.
Cette proportion est proche de $ 90\, \% $ : Marie a raison.