Cuboctaèdre
On considère un cube de cm d'arête. Soient le milieu de , celui de et celui de .
Calculer .
Démontrer que est un triangle équilatéral, puis calculer son aire.
Calculer le volume de la pyramide ; en déduire, en centimètres, la hauteur issue de de cette pyramide.
A partir des 8 sommets du cube, on peut former 8 pyramides, comme cela a été fait à partir du sommet . Après avoir découpé ces 8 pyramides, on obtient un nouveau solide, appelé cuboctaèdre.
Soit le milieu de et celui de . Quelle est la nature du quadrilatère ?
Calculer l'aire de ce quadrilatère.
Donner une description du cuboctaèdre : nombre et nature des faces, nombre de sommets et d'arêtes.
Si S, A et F sont respectivement le nombre de sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre, la formule d'Euler affirme que : S+F=A+2
La formule d'Euler est-elle vérifiée?
Dessiner un patron du cuboctaèdre.
A partir du volume du cube, calculer le volume du cuboctaèdre.
Calculer le rapport entre ces 2 volumes ?
Corrigé
Indications
Employez le théorème de Pythagore dans le triangle
Calculez la longueur de chacun des côtés. Pour l'aire, calculez d'abord la hauteur du triangle équilatéral (si vous ne connaissez pas la formule, utilisez la trigonométrie).
volume=aire de la base x hauteur / 3
Utilisez cette formule de 2 manières différentes en changeant de base pour trouver une équation donnant la hauteur de la pyramide.
N'oubliez pas de montrer qu'il y a un angle droit!
S=12; F=14; A=24. La formule d'Euler est bien vérifiée.
Patron :
Il suffit de retrancher le volume de chacun des "coins" au volume du cube.