Exercice 7 (17 points)

Le « hand-spinner » est une sorte de toupie plate qui tourne sur elle-même.

On donne au « hand-spinner » une vitesse de rotation initiale au temps $t = 0$, puis, au cours du temps, sa vitesse de rotation diminue jusqu'à l'arrêt complet du « hand-spinner ».

Sa vitesse de rotation est alors égale à $0$.

Grâce à un appareil de mesure, on a relevé la vitesse de rotation exprimée en nombre de tours par seconde.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté cette vitesse en fonction du temps exprimé en seconde :

Inspiré de : Sciences et avenir : Combien de temps peut tourner votre Hand Spinner ?

1. Le temps et la vitesse de rotation du « hand-spinner » sont-ils proportionnels ? Justifier.

2. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :

   1. Quelle est la vitesse de rotation initiale du « hand-spinner » (en nombre de tours par seconde) ?

   2. Quelle est la vitesse de rotation du « hand-spinner » (en nombre de tours par seconde) au bout d'une minute et vingt secondes ?

   3. Au bout de combien de temps, le « hand-spinner » va-t-il s'arrêter ?

3. Pour calculer la vitesse de rotation du « hand-spinner » en fonction du temps $t$, notée $V(t)$, on utilise la fonction suivante :

   $V(t) = - 0,214 \times t + V_{\text{initiale}}.$

   $\bullet~~$ $t$ est le temps (exprimé en s) qui s'est écoulé depuis le début de rotation du « hand-spinner » ;

   $\bullet~~$ $V_{\text{initiale}}$ est la vitesse de rotation à laquelle on a lancé le « hand-spinner » au départ.

   1. On lance le « hand-spinner » à une vitesse initiale de $20$ tours par seconde. Sa vitesse de rotation est donc donnée par la formule :

      $V(t) = - 0,214 \times t + 20.$

      Calculer sa vitesse de rotation au bout de $30$ s.

   2. Au bout de combien de temps le hand-spinner va-t-il s'arrêter ? Justifier par un calcul.

   3. Est-il vrai que, d'une manière générale, si l'on fait tourner le hand-spinner deux fois plus vite au départ, il tournera deux fois plus longtemps ? Justifier.