Exercice corrigéSoit la fonction f définie sur l’intervalle I= ]0~;~+\infty[ par :
f(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{x}
On note \mathscr C_f la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O~;~\vec{i},\vec{j}) d’unité 1cm.
- Calculer \lim_{x \rightarrow 0} f(x). Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
- Calculer \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x).
- Calculer f^{\prime}(x) et donner le sens de variations de la fonction f sur I.
- Tracer la courbe \mathscr C_f.
La courbe \mathscr C_f admet une tangente (T) qui passe par l’origine du repère. Tracer (T). - On note a l’abscisse du point d’intersection de la courbe \mathscr C_f et de la droite (T).
Montrer que \frac{\sqrt{a}}{2}-\frac{2}{a}=0 - Soit g la fonction définie sur I par :
g(x)=\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{x}
Etudier le sens de variations de la fonction g.
- Montrer que l’équation g(x)=0 admet une unique solution sur l’intervalle [2~;~3].
- Déduire des questions précédentes un encadrement de a d’amplitude 10^{-2}.
Corrigé
- \lim_{x \rightarrow 0} \sqrt{x}=0
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}=+\infty (car x > 0 sur I)Par différence : \lim_{x \rightarrow 0} f(x)=-\infty
La droite d’équation x=0, c’est à dire l’axe des ordonnées, est asymptote verticale à la courbe \mathscr C_f.
- \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x}=+\infty
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{x}=0Donc, par somme: \lim_{x \rightarrow 0} f(x)=+\infty
- f est dérivable sur I= ]0~;~+\infty[ comme différence de fonctions dérivables sur I.
La dérivée de la fonction x\longmapsto\sqrt{x} est la fonction x\longmapsto \frac{1}{2\sqrt{x}}.
La dérivée de la fonction x\longmapsto\frac{1}{x} est la fonction x\longmapsto \frac{1}{x^2}.
Par conséquent :
f ^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{x^2}f^{\prime} est la somme de deux fonctions strictement positives sur I donc est strictement positive sur I.
Par conséquent, f est strictement croissante sur I.
- En s’aidant de la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs, on obtient le graphique ci-dessous :
- (T) est la tangente à \mathscr C_f au point d’abscisse a.
L’équation réduite de \mathscr C_f est donc :
y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)Cette droite passe par le point O(0;0) donc :
0=f^{\prime}(a)(0-a)+f(a)Or :
f^{\prime}(a)(0-a)+f(a) = -af^{\prime}(a)+f(a)
\phantom{f^{\prime}(a)(0-a)+f(a)} = \frac{-a}{2\sqrt{a}}+\frac{-a}{a^2}+\sqrt{a}-\frac{1}{a}
\phantom{f^{\prime}(a)(0-a)+f(a)} = \frac{-\sqrt{a}}{2}+\frac{-1}{a}+\sqrt{a}-\frac{1}{a}
\phantom{f^{\prime}(a)(0-a)+f(a)} = \frac{\sqrt{a}}{2}-\frac{2}{a}Par conséquent :
\frac{\sqrt{a}}{2}-\frac{2}{a}=0 - g est dérivable sur I comme différence de fonctions dérivables sur I et :
g^{\prime}(x)=\frac{1}{4\sqrt{x}}+\frac{2}{x^2}La fonction g^{\prime} étant strictement positive sur I, g est strictement croissante sur I.
- g(2)=\frac{\sqrt{2}}{2}-1 \approx -0,3
g(3)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{3} \approx 0,2
La fonction g est continue et strictement croissante sur l’intervalle [2~;~3]. 0appartient à l’intervalle image [g(2)~;~g(3)], donc d’après le théorème de la bijection (aussi appelé corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation g(x)=0 admet une unique solution sur l’intervalle [2~;~3]. - Cette solution est aussi l’unique solution de cette équation sur l’intervalle I du fait de la stricte croissance de la fonction g sur I.
Or, d’après la question 5. on sait que \frac{\sqrt{a}}{2}-\frac{2}{a}=0 c’est à dire g(a)=0. Cette unique solution est donc a.À la calculatrice, on trouve :
g(2,51) \approx -0,005 < 0
g(2,52) \approx 0,00008 > 0Par conséquent 2,51 \leqslant a \leqslant 2,52.
