Théorème de la bijection et tangente
Soit la fonction définie sur l'intervalle par :
On note la courbe représentative de dans un repère orthonormé d'unité cm.
Calculer . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
Calculer .
Calculer et donner le sens de variations de la fonction sur .
Tracer la courbe .
La courbe admet une tangente qui passe par l'origine du repère. Tracer .
On note l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite .
Montrer que
Soit la fonction définie sur par :
Etudier le sens de variations de la fonction .
Montrer que l'équation admet une unique solution sur l'intervalle .
Déduire des questions précédentes un encadrement de d'amplitude .
Corrigé
(car sur )
Par différence :
La droite d'équation , c'est à dire l'axe des ordonnées, est asymptote verticale à la courbe
Donc, par somme:
est dérivable sur comme différence de fonctions dérivables sur .
La dérivée de la fonction est la fonction .
La dérivée de la fonction est la fonction .
Par conséquent :
est la somme de deux fonctions strictement positives sur donc est strictement positive sur .
Par conséquent, est strictement croissante sur .
En s'aidant de la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs, on obtient le graphique ci-dessous :
est la tangente à au point d'abscisse .
L'équation réduite de est donc :
Cette droite passe par le point donc :
Or :
Par conséquent :
est dérivable sur comme différence de fonctions dérivables sur et :
La fonction étant strictement positive sur , est strictement croissante sur .
La fonction est continue et strictement croissante sur l'intervalle . appartient à l'intervalle image , donc d'après le théorème de la bijection (aussi appelé corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l'équation admet une unique solution sur l'intervalle .
Cette solution est aussi l'unique solution de cette équation sur l'intervalle du fait de la stricte croissance de la fonction sur .
Or, d'après la question 5. on sait que c'est à dire . Cette unique solution est donc .
À la calculatrice, on trouve :
Par conséquent .