Exercice corrigéPrérequis :
- La fonction exponentielle (notée \text{exp}) est l’unique fonction dérivable sur \mathbb{R} telle que :
\text{exp}^{\prime}=\text{exp}
\text{exp}\left(0\right)=1
La fonction exponentielle est strictement croissante et strictement positive sur \mathbb{R}. - On utilisera également le résultat suivant :
Si f est une fonction dérivable sur \mathbb{R}, alors la fonction x\mapsto f\left(ax+b\right) est dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée est la fonction x\mapsto af^{\prime}\left(ax+b\right)
Soit a un réel quelconque et f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\frac{\text{exp}\left(x+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)}.
- Montrer que pour tout x \in \mathbb{R} : f^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right).
- Calculer f\left(0\right). Que peut-on en conclure pour la fonction f ?
En déduire que pour tous réels a et b : \text{exp}\left(a+b\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left(b\right). - Montrer que pour tout réel a : \text{exp}\left(-a\right)=\frac{1}{\text{exp}\left(a\right)}
En déduire que pour tous réels a et b : \text{exp}\left(a-b\right)=\frac{\text{exp}\left(a\right)}{\text{exp}\left(b\right)}. - Démontrer par récurrence que pour tout n \in \mathbb{N} :
\text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} - A l’aide des questions précédentes, montrer que pour tout n \in \mathbb{N} :
\text{exp}\left(-na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{-n}
En déduire que l’égalité \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} est vraie pour tout n \in \mathbb{Z}
Corrigé
- D’après les prérequis, la dérivée de la fonction x\mapsto \text{exp}\left(x+a\right) est la fonction x\mapsto \text{exp}\left(x+a\right) (c’est à dire elle-même).
Par conséquent :
f^{\prime}\left(x\right)=\frac{\text{exp}\left(x+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)}=f\left(x\right)
(Remarque : pas besoin d’utiliser la formule \left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}} car le dénominateur est une constante) - f\left(0\right)=\frac{\text{exp}\left(0+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)}=1
La fonction f est égale à sa dérivée et vérifie f\left(0\right)=1. Or, d’après le prérequis a. la fonction exponentielle est la seule a vérifier ces deux conditions. Donc pour tout x \in \mathbb{R} :
f\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right)
En posant x=b on obtient :
f\left(b\right)=\frac{\text{exp}\left(b+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)}=\text{exp}\left(b\right)
Par conséquent : \text{exp}\left(a+b\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left(b\right)
Remarque
La formule précédente est vrai pour tous réels a et b. Cela signifie qu’on va pouvoir remplacer a etb par n’importe quel nombre réel (opération que l’on fera souvent dans les questions qui suivent…)
\text{exp}\left(a-a\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left(-a\right)
\text{exp}\left(0\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left(-a\right)
1=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left(-a\right)
\frac{1}{\text{exp}\left(a\right)}=\text{exp}\left(-a\right)
En remplaçant cette fois b par -b dans le résultat de la question 2. on obtient :
\text{exp}\left(a-b\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left(-b\right)
et d’après le résultat précédent : \text{exp}\left(-b\right)=\frac{1}{\text{exp}\left(b\right)}
par conséquent :
\text{exp}\left(a-b\right)=\frac{\text{exp}\left(a\right)}{\text{exp}\left(b\right)}
La propriété que l’on souhaite démontrer est vraie pour n=0 car :
\text{exp}\left(0a\right) = \text{exp}\left(0\right) = 1
\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{0} = 1 (n’importe quel réel non nul à la puissance zéro donne 1)
donc: \text{exp}\left(0a\right) =\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{0}
Hérédité
Supposons que pour un certain entier n, \text{exp}\left(na\right) =\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} («hypothèse de récurrence»)
Alors :
\text{exp}\left(\left(n+1\right)a\right)=\text{exp}\left(na+a\right)=\text{exp}\left(na\right)\times \text{exp}\left(a\right) d’après 2.
\text{exp}\left(\left(n+1\right)a\right)=\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n}\times \text{exp}\left(a\right) (d’après l’hypothèse de récurrence)
\text{exp}\left(\left(n+1\right)a\right)=\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n+1} (propriété des puissances)
Ceci montre par récurrence que pour tout n \in \mathbb{N} :
\text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n}
\text{exp}\left(-na\right) = \frac{1}{\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n}} (d’après 4.)
\text{exp}\left(-na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{-n} (propriété des puissances)
Soit n \in \mathbb{Z}.
Si n\geqslant 0, \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} d’après 4.
Si n < 0, on pose n=-n^{\prime} :
\text{exp}\left(na\right) = \text{exp}\left(-n^{\prime}a\right)=\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{-n^{\prime}} (d’après le calcul ci-dessus)
\text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n}
Par conséquent, l’égalité \text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} est vraie pour tout n \in \mathbb{Z}
