Représentation paramétrique et tétraèdre

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$ABCD$ est un tétraèdre quelconque.

On se place dans le repère $(A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$ .

On rappelle que le centre de gravité d'un triangle $ABC$ est le point $G$ qui vérifie :

\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}

Soient $I$ et $J$ les centres de gravité respectifs des triangles $ABC$ et $BCD$ .
Calculer les coordonnées de $I$ et $J$ dans le repère $(A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$ .
Dans les questions suivantes, on va démontrer, de deux manières différentes, que les droites $(AJ)$ et $(DI)$ sont sécantes.
Première méthode :
1. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{IJ}$ sont colinéaires.
2. Que peut-on en déduire pour les points $A, D, I$ et $J$ ?
3. En déduire que les droites $(AJ)$ et $(DI)$ sont sécantes.
Deuxième méthode :
1. Donner une représentation paramétrique de chacune des droites $(AJ)$ et $(DI)$ .
2. En déduire que les droites $(AJ)$ et $(DI)$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

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Les coordonnées des points $A, B, C$ et $D$ dans le repère $(A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$ sont : $A(0;0;0)$ , $B(1 ; 0; 0 )$ , $C (0;1;0)$ et $D (0;0;1)$ .
Notons $(x;y;z)$ les coordonnées du point $I$ . Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB}$ et $\overrightarrow{IC}$ sont alors $\overrightarrow{IA}\begin{pmatrix} -x \\ -y \\ -z \end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} 1-x \\ -y \\ -z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{IC}\begin{pmatrix} -x \\ 1-y \\ -z \end{pmatrix}$ .
La somme $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}$ a donc pour coordonnées $\begin{pmatrix} 1-3x \\ 1-3y \\ -3z \end{pmatrix}$ .
Puisque $I$ est le centre de gravité du triangle $ABC$ , la somme $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}$ est nulle par conséquent :
$\begin{cases} 1-3x=0 \\ 1-3y=0 \\ -3z=0 \end{cases}$
c'est à dire :
$\begin{cases} x=1/3 \\ y=1/3 \\ z=0 \end{cases}$ .
Le point $I$ a donc pour coordonnées $I \left(\frac{1}{3} ; \frac{1}{3} ; 0 \right)$
Un raisonnement analogue pour le point $J$ permet de trouver les coordonnées $J \left(\frac{1}{3} ; \frac{1}{3} ; \frac{1}{3} \right)$ .
1. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AD}$ sont $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
  D'après la question précédente les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{IJ}$ sont $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}$ .
  On a donc $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$ .
  Les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont donc colinéaires.
2. Les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{AD}$ étant colinéaires, les droites $(IJ)$ et $(AD)$ sont parallèles. Deux droites parallèles étant coplanaires, les points $A,~ D,~ I$ et $J$ sont coplanaires.
3. Les droites $(AJ)$ et $(DI)$ sont coplanaires; de plus, ce sont les diagonales du trapèze $AIJD$ donc elles sont sécantes.
1. La droite $(AJ)$ passe par le point $A(0;0;0)$ et est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{AJ}\begin{pmatrix} 1/3 \\ 1/3 \\1/3 \end{pmatrix}$ .
  Pour simplifier les calculs, on peut aussi dire que $3\overrightarrow{AJ}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(AJ)$ (cela évite les calculs fractionnaires ! )
  Une représentation paramétrique de la droite $(AJ)$ est donc :
  $\begin{cases} x=t \\ y=t \\ z=t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$
  De même, la droite $(DI)$ passe par le point $D(0;0;1)$ et est dirigée par le vecteur $3\overrightarrow{DI} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\-3 \end{pmatrix}$ .
  Une représentation paramétrique de la droite $(DI)$ est :
  $\begin{cases} x=t^{\prime} \\ y=t^{\prime} \\ z=1-3t^{\prime} \end{cases} \quad t^{\prime} \in \mathbb{R}$
2. Les droites $(AJ)$ et $(DI)$ sont sécantes si et seulement s'il existe deux réels $t$ et $t^{\prime}$ tels que :
  $(S) \quad \begin{cases} t=t^{\prime} \\ t=t^{\prime} \\ t=1-3t^{\prime} \end{cases}$
  Ce système est équivalent à
  $(S) \Leftrightarrow \begin{cases} t=t^{\prime} \\ t=1-3t \end{cases}$
  $\phantom{(S)} \Leftrightarrow \begin{cases} t=\frac{1}4{} \\ \\ t^{\prime}=\frac{1}{4} \end{cases}$
  Le système $(S)$ ayant une unique solution, les droites $(AJ)$ et $(DI)$ sont sécantes. Les coordonnées de leur point d'intersection sont :
  $\begin{cases} x=t=1/4 \\ y=t=1/4 \\ z=t=1/4 \end{cases}$
  Les droites $(AJ)$ et $(DI)$ sont sécantes au point $E\left(\frac{1}{4};\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right)$

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