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Terminale

moyenExercice corrigé

Représentation paramétrique et tétraèdre


ABCD est un tétraèdre quelconque.

On se place dans le repère (A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}).

On rappelle que le centre de gravité d'un triangle ABC est le point G qui vérifie :

\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}
  1. Soient I et J les centres de gravité respectifs des triangles ABC et BCD.
    Calculer les coordonnées de I et J dans le repère (A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}).

    Dans les questions suivantes, on va démontrer, de deux manières différentes, que les droites (AJ) et (DI) sont sécantes.

  2. Première méthode :
    1. Montrer que les vecteurs \overrightarrow{AD} et \overrightarrow{IJ} sont colinéaires.
    2. Que peut-on en déduire pour les points A, D, I et J?
    3. En déduire que les droites (AJ) et (DI) sont sécantes.
  3. Deuxième méthode :
    1. Donner une représentation paramétrique de chacune des droites (AJ) et (DI).
    2. En déduire que les droites (AJ) et (DI) sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

Corrigé

  1. Les coordonnées des points A, B, C et D dans le repère (A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}) sont : A(0;0;0), B(1 ; 0; 0 ), C (0;1;0) et D (0;0;1).

    Notons (x;y;z) les coordonnées du point I. Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB} et \overrightarrow{IC} sont alors \overrightarrow{IA}\begin{pmatrix} -x \\ -y \\ -z \end{pmatrix}, \overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} 1-x \\ -y \\ -z \end{pmatrix} et \overrightarrow{IC}\begin{pmatrix} -x \\ 1-y \\ -z \end{pmatrix}.

    La somme \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} a donc pour coordonnées \begin{pmatrix} 1-3x \\ 1-3y \\ -3z \end{pmatrix}.

    Puisque I est le centre de gravité du triangle ABC, la somme \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} est nulle par conséquent :
    \begin{cases} 1-3x=0 \\ 1-3y=0 \\ -3z=0 \end{cases}

    c'est à dire :
    \begin{cases} x=1/3 \\ y=1/3 \\ z=0 \end{cases}.

    Le point I a donc pour coordonnées I \left(\frac{1}{3} ; \frac{1}{3} ; 0 \right)

    Un raisonnement analogue pour le point J permet de trouver les coordonnées J \left(\frac{1}{3} ; \frac{1}{3} ; \frac{1}{3} \right).

    1. Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AD} sont \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

      D'après la question précédente les coordonnées du vecteur \overrightarrow{IJ} sont \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}.

      On a donc \overrightarrow{IJ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}.

      Les vecteurs \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{AD} sont donc colinéaires.

    2. Les vecteurs \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{AD} étant colinéaires, les droites (IJ) et (AD) sont parallèles. Deux droites parallèles étant coplanaires, les points A,~ D,~ I et J sont coplanaires.
    3. Les droites (AJ) et (DI) sont coplanaires; de plus, ce sont les diagonales du trapèze AIJD donc elles sont sécantes.
    1. La droite (AJ) passe par le point A(0;0;0) et est dirigée par le vecteur \overrightarrow{AJ}\begin{pmatrix} 1/3 \\ 1/3 \\1/3 \end{pmatrix}.
      Pour simplifier les calculs, on peut aussi dire que 3\overrightarrow{AJ}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} est un vecteur directeur de (AJ) (cela évite les calculs fractionnaires ! )

      Une représentation paramétrique de la droite (AJ) est donc :
      \begin{cases} x=t \\ y=t \\ z=t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}

      De même, la droite (DI) passe par le point D(0;0;1) et est dirigée par le vecteur 3\overrightarrow{DI} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\-3 \end{pmatrix}.

      Une représentation paramétrique de la droite (DI) est :
      \begin{cases} x=t^{\prime} \\ y=t^{\prime} \\ z=1-3t^{\prime} \end{cases} \quad t^{\prime} \in \mathbb{R}

    2. Les droites (AJ) et (DI) sont sécantes si et seulement s'il existe deux réels t et t^{\prime} tels que :
      (S) \quad \begin{cases} t=t^{\prime} \\ t=t^{\prime} \\ t=1-3t^{\prime} \end{cases}

      Ce système est équivalent à
      (S) \Leftrightarrow \begin{cases} t=t^{\prime} \\ t=1-3t \end{cases}

      \phantom{(S)} \Leftrightarrow \begin{cases} t=\frac{1}4{} \\ \\ t^{\prime}=\frac{1}{4} \end{cases}

      Le système (S) ayant une unique solution, les droites (AJ) et (DI) sont sécantes. Les coordonnées de leur point d'intersection sont :
      \begin{cases} x=t=1/4 \\ y=t=1/4 \\ z=t=1/4 \end{cases}

      Les droites (AJ) et (DI) sont sécantes au point E\left(\frac{1}{4};\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right)

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