ABCD est un tétraèdre quelconque.
On se place dans le repère (A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}).
On rappelle que le centre de gravité d'un triangle ABC est le point G qui vérifie :
- Soient I et J les centres de gravité respectifs des triangles ABC et BCD.
Calculer les coordonnées de I et J dans le repère (A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}).Dans les questions suivantes, on va démontrer, de deux manières différentes, que les droites (AJ) et (DI) sont sécantes.
- Première méthode :
- Montrer que les vecteurs \overrightarrow{AD} et \overrightarrow{IJ} sont colinéaires.
- Que peut-on en déduire pour les points A, D, I et J?
- En déduire que les droites (AJ) et (DI) sont sécantes.
- Deuxième méthode :
- Donner une représentation paramétrique de chacune des droites (AJ) et (DI).
- En déduire que les droites (AJ) et (DI) sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
Corrigé
- Les coordonnées des points A, B, C et D dans le repère (A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}) sont : A(0;0;0), B(1 ; 0; 0 ), C (0;1;0) et D (0;0;1).
Notons (x;y;z) les coordonnées du point I. Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB} et \overrightarrow{IC} sont alors \overrightarrow{IA}\begin{pmatrix} -x \\ -y \\ -z \end{pmatrix}, \overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} 1-x \\ -y \\ -z \end{pmatrix} et \overrightarrow{IC}\begin{pmatrix} -x \\ 1-y \\ -z \end{pmatrix}.
La somme \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} a donc pour coordonnées \begin{pmatrix} 1-3x \\ 1-3y \\ -3z \end{pmatrix}.
Puisque I est le centre de gravité du triangle ABC, la somme \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} est nulle par conséquent :
\begin{cases} 1-3x=0 \\ 1-3y=0 \\ -3z=0 \end{cases}c'est à dire :
\begin{cases} x=1/3 \\ y=1/3 \\ z=0 \end{cases}.Le point I a donc pour coordonnées I \left(\frac{1}{3} ; \frac{1}{3} ; 0 \right)
Un raisonnement analogue pour le point J permet de trouver les coordonnées J \left(\frac{1}{3} ; \frac{1}{3} ; \frac{1}{3} \right).
-
- Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AD} sont \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.
D'après la question précédente les coordonnées du vecteur \overrightarrow{IJ} sont \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}.
On a donc \overrightarrow{IJ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}.
Les vecteurs \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{AD} sont donc colinéaires.
- Les vecteurs \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{AD} étant colinéaires, les droites (IJ) et (AD) sont parallèles. Deux droites parallèles étant coplanaires, les points A,~ D,~ I et J sont coplanaires.
- Les droites (AJ) et (DI) sont coplanaires; de plus, ce sont les diagonales du trapèze AIJD donc elles sont sécantes.
- Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AD} sont \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.
-
- La droite (AJ) passe par le point A(0;0;0) et est dirigée par le vecteur \overrightarrow{AJ}\begin{pmatrix} 1/3 \\ 1/3 \\1/3 \end{pmatrix}.
Pour simplifier les calculs, on peut aussi dire que 3\overrightarrow{AJ}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} est un vecteur directeur de (AJ) (cela évite les calculs fractionnaires ! )Une représentation paramétrique de la droite (AJ) est donc :
\begin{cases} x=t \\ y=t \\ z=t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}De même, la droite (DI) passe par le point D(0;0;1) et est dirigée par le vecteur 3\overrightarrow{DI} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\-3 \end{pmatrix}.
Une représentation paramétrique de la droite (DI) est :
\begin{cases} x=t^{\prime} \\ y=t^{\prime} \\ z=1-3t^{\prime} \end{cases} \quad t^{\prime} \in \mathbb{R} - Les droites (AJ) et (DI) sont sécantes si et seulement s'il existe deux réels t et t^{\prime} tels que :
(S) \quad \begin{cases} t=t^{\prime} \\ t=t^{\prime} \\ t=1-3t^{\prime} \end{cases}Ce système est équivalent à
\phantom{(S)} \Leftrightarrow \begin{cases} t=\frac{1}4{} \\ \\ t^{\prime}=\frac{1}{4} \end{cases}
(S) \Leftrightarrow \begin{cases} t=t^{\prime} \\ t=1-3t \end{cases}Le système (S) ayant une unique solution, les droites (AJ) et (DI) sont sécantes. Les coordonnées de leur point d'intersection sont :
\begin{cases} x=t=1/4 \\ y=t=1/4 \\ z=t=1/4 \end{cases}Les droites (AJ) et (DI) sont sécantes au point E\left(\frac{1}{4};\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right)
- La droite (AJ) passe par le point A(0;0;0) et est dirigée par le vecteur \overrightarrow{AJ}\begin{pmatrix} 1/3 \\ 1/3 \\1/3 \end{pmatrix}.