Les coordonnées des points $A, B, C$ et $D$ dans le repère $(A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$ sont : $A(0;0;0)$, $B(1 ; 0; 0 )$, $C (0;1;0)$ et $D (0;0;1)$.

Notons $(x;y;z)$ les coordonnées du point $I$. Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB}$ et $\overrightarrow{IC}$ sont alors $\overrightarrow{IA}\begin{pmatrix} - x \\ - y \\ - z \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} 1 - x \\ - y \\ - z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{IC}\begin{pmatrix} - x \\ 1 - y \\ - z \end{pmatrix}$.

La somme $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}$ a donc pour coordonnées $\begin{pmatrix} 1 - 3x \\ 1 - 3y \\ - 3z \end{pmatrix}$.

Puisque $I$ est le centre de gravité du triangle $ABC$, la somme $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}$ est nulle par conséquent :

$\begin{cases} 1 - 3x=0 \\ 1 - 3y=0 \\ - 3z=0 \end{cases}$

c'est à dire :

$\begin{cases} x=1/3 \\ y=1/3 \\ z=0 \end{cases}$.

Le point $I$ a donc pour coordonnées $I \left(\frac{1}{3} ; \frac{1}{3} ; 0 \right)$

Un raisonnement analogue pour le point $J$ permet de trouver les coordonnées $J \left(\frac{1}{3} ; \frac{1}{3} ; \frac{1}{3} \right)$.

1. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AD}$ sont $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

   D'après la question précédente les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{IJ}$ sont $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}$.

   On a donc $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$.

   Les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont donc colinéaires.

2. Les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{AD}$ étant colinéaires, les droites $(IJ)$ et $(AD)$ sont parallèles. Deux droites parallèles étant coplanaires, les points $A,~ D,~ I$ et $J$ sont coplanaires.

3. Les droites $(AJ)$ et $(DI)$ sont coplanaires; de plus, ce sont les diagonales du trapèze $AIJD$ donc elles sont sécantes.

1. La droite $(AJ)$ passe par le point $A(0;0;0)$ et est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{AJ}\begin{pmatrix} 1/3 \\ 1/3 \\1/3 \end{pmatrix}$.

   Pour simplifier les calculs, on peut aussi dire que $3\overrightarrow{AJ}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(AJ)$ (cela évite les calculs fractionnaires ! )

   Une représentation paramétrique de la droite $(AJ)$ est donc :

   $\begin{cases} x=t \\ y=t \\ z=t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$

   De même, la droite $(DI)$ passe par le point $D(0;0;1)$ et est dirigée par le vecteur $3\overrightarrow{DI} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ - 3 \end{pmatrix}$.

   Une représentation paramétrique de la droite $(DI)$ est :

   $\begin{cases} x=t^{\prime} \\ y=t^{\prime} \\ z=1 - 3t^{\prime} \end{cases} \quad t^{\prime} \in \mathbb{R}$

2. Les droites $(AJ)$ et $(DI)$ sont sécantes si et seulement s'il existe deux réels $t$ et $t^{\prime}$ tels que :

   $(S) \quad \begin{cases} t=t^{\prime} \\ t=t^{\prime} \\ t=1 - 3t^{\prime} \end{cases}$

   Ce système est équivalent à

   $(S) \Leftrightarrow \begin{cases} t=t^{\prime} \\ t=1 - 3t \end{cases}$

   $\phantom{(S)} \Leftrightarrow \begin{cases} t=\frac{1}4{} \\ \\ t^{\prime}=\frac{1}{4} \end{cases}$

   Le système $(S)$ ayant une unique solution, les droites $(AJ)$ et $(DI)$ sont sécantes. Les coordonnées de leur point d'intersection sont :

   $\begin{cases} x=t=1/4 \\ y=t=1/4 \\ z=t=1/4 \end{cases}$

   Les droites $(AJ)$ et $(DI)$ sont sécantes au point $E\left(\frac{1}{4};\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right)$