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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Représentation paramétrique et tétraèdre

tétraèdre

ABCDABCD est un tétraèdre quelconque.

On se place dans le repère (A;AB,AC,AD)(A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}).

On rappelle que le centre de gravité d'un triangle ABCABC est le point GG qui vérifie :

GA+GB+GC=0\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}

  1. Soient II et JJ les centres de gravité respectifs des triangles ABCABC et BCDBCD.

    Calculer les coordonnées de II et JJ dans le repère (A;AB,AC,AD)(A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}). Dans les questions suivantes, on va démontrer, de deux manières différentes, que les droites (AJ)(AJ) et (DI)(DI) sont sécantes.

  2. Première méthode :

    1. Montrer que les vecteurs AD\overrightarrow{AD} et IJ\overrightarrow{IJ} sont colinéaires.

    2. Que peut-on en déduire pour les points A,D,IA, D, I et JJ?

    3. En déduire que les droites (AJ)(AJ) et (DI)(DI) sont sécantes

  3. Deuxième méthode :

    1. Donner une représentation paramétrique de chacune des droites (AJ)(AJ) et (DI)(DI).

    2. En déduire que les droites (AJ)(AJ) et (DI)(DI) sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

Corrigé

  1. Les coordonnées des points A,B,CA, B, C et DD dans le repère (A;AB,AC,AD)(A; \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}) sont : A(0;0;0)A(0;0;0), B(1;0;0)B(1 ; 0; 0 ), C(0;1;0)C (0;1;0) et D(0;0;1)D (0;0;1).

    Notons (x;y;z)(x;y;z) les coordonnées du point II. Les coordonnées des vecteurs IA,IB\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB} et IC\overrightarrow{IC} sont alors IA(xyz)\overrightarrow{IA}\begin{pmatrix} - x \\ - y \\ - z \end{pmatrix}, IB(1xyz)\overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} 1 - x \\ - y \\ - z \end{pmatrix} et IC(x1yz)\overrightarrow{IC}\begin{pmatrix} - x \\ 1 - y \\ - z \end{pmatrix}.

    La somme IA+IB+IC\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} a donc pour coordonnées (13x13y3z)\begin{pmatrix} 1 - 3x \\ 1 - 3y \\ - 3z \end{pmatrix}.

    Puisque II est le centre de gravité du triangle ABCABC, la somme IA+IB+IC\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} est nulle par conséquent :

    {13x=013y=03z=0\begin{cases} 1 - 3x=0 \\ 1 - 3y=0 \\ - 3z=0 \end{cases}

    c'est à dire :

    {x=1/3y=1/3z=0\begin{cases} x=1/3 \\ y=1/3 \\ z=0 \end{cases}.

    Le point II a donc pour coordonnées I(13;13;0)I \left(\frac{1}{3} ; \frac{1}{3} ; 0 \right)

    Un raisonnement analogue pour le point JJ permet de trouver les coordonnées J(13;13;13)J \left(\frac{1}{3} ; \frac{1}{3} ; \frac{1}{3} \right).

    1. Les coordonnées du vecteur AD\overrightarrow{AD} sont (001)\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

      D'après la question précédente les coordonnées du vecteur IJ\overrightarrow{IJ} sont (0013)\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}.

      On a donc IJ=13AD\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}.

      Les vecteurs IJ\overrightarrow{IJ} et AD\overrightarrow{AD} sont donc colinéaires.

    2. Les vecteurs IJ\overrightarrow{IJ} et AD\overrightarrow{AD} étant colinéaires, les droites (IJ)(IJ) et (AD)(AD) sont parallèles. Deux droites parallèles étant coplanaires, les points A, D, IA,~ D,~ I et JJ sont coplanaires.

    3. Les droites (AJ)(AJ) et (DI)(DI) sont coplanaires; de plus, ce sont les diagonales du trapèze AIJDAIJD donc elles sont sécantes.

    1. La droite (AJ)(AJ) passe par le point A(0;0;0)A(0;0;0) et est dirigée par le vecteur AJ(1/31/31/3)\overrightarrow{AJ}\begin{pmatrix} 1/3 \\ 1/3 \\1/3 \end{pmatrix}.

      Pour simplifier les calculs, on peut aussi dire que 3AJ(111)3\overrightarrow{AJ}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} est un vecteur directeur de (AJ)(AJ) (cela évite les calculs fractionnaires ! )

      Une représentation paramétrique de la droite (AJ)(AJ) est donc :

      {x=ty=tz=ttR\begin{cases} x=t \\ y=t \\ z=t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}

      De même, la droite (DI)(DI) passe par le point D(0;0;1)D(0;0;1) et est dirigée par le vecteur 3DI(113)3\overrightarrow{DI} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ - 3 \end{pmatrix}.

      Une représentation paramétrique de la droite (DI)(DI) est :

      {x=ty=tz=13ttR\begin{cases} x=t^{\prime} \\ y=t^{\prime} \\ z=1 - 3t^{\prime} \end{cases} \quad t^{\prime} \in \mathbb{R}

    2. Les droites (AJ)(AJ) et (DI)(DI) sont sécantes si et seulement s'il existe deux réels tt et tt^{\prime} tels que :

      (S){t=tt=tt=13t(S) \quad \begin{cases} t=t^{\prime} \\ t=t^{\prime} \\ t=1 - 3t^{\prime} \end{cases}

      Ce système est équivalent à

      (S){t=tt=13t(S) \Leftrightarrow \begin{cases} t=t^{\prime} \\ t=1 - 3t \end{cases}

      (S){t=14t=14\phantom{(S)} \Leftrightarrow \begin{cases} t=\frac{1}4{} \\ \\ t^{\prime}=\frac{1}{4} \end{cases}

      Le système (S)(S) ayant une unique solution, les droites (AJ)(AJ) et (DI)(DI) sont sécantes. Les coordonnées de leur point d'intersection sont :

      {x=t=1/4y=t=1/4z=t=1/4\begin{cases} x=t=1/4 \\ y=t=1/4 \\ z=t=1/4 \end{cases}

      Les droites (AJ)(AJ) et (DI)(DI) sont sécantes au point E(14;14;14)E\left(\frac{1}{4};\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right)