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Coordonnées et représentations paramétriques

ABCDEFGHABCDEFGH est un cube. II et JJ sont les deux points définis par :

coordonnees-representation-parametrique

  1. On se place dans le repère (D;DA→;DC→;DH→)\left(D; \overrightarrow{DA}; \overrightarrow{DC}; \overrightarrow{DH}\right).

    Préciser les coordonnées des points A,B,C,D,E,F,G,H,I,JA, B, C, D, E, F, G, H, I, J dans ce repère. Aucune justification n'est demandée pour les coordonnées des sommets du cube.

  2. Donner une représentation paramétrique de la droite (AI)\left(AI\right) et de la droite (CJ)\left(CJ\right)

  3. Montrer que les droites (AI)\left(AI\right) et (CJ)\left(CJ\right) sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

Corrigé

  1. A(1;0;0)A\left(1 ; 0 ; 0\right)

    B(1;1;0)B\left(1 ; 1 ; 0\right)

    C(0;1;0)C\left(0 ; 1 ; 0\right)

    D(0;0;0)D\left(0 ; 0 ; 0\right)

    E(1;0;1)E\left(1 ; 0 ; 1\right)

    F(1;1;1)F\left(1 ; 1 ; 1\right)

    G(0;1;1)G\left(0 ; 1 ; 1\right)

    H(0;0;1)H\left(0 ; 0 ; 1\right)

    DI→=DH→+HI→=DH→+13HE→\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{HI} = \overrightarrow{DH}+\frac{1}{3}\overrightarrow{HE}

    Les coordonnées de DH→\overrightarrow{DH} et HE→\overrightarrow{HE} sont DH→(0;0;1)\overrightarrow{DH} \left(0 ; 0 ; 1\right) et HE→(1;0;0)\overrightarrow{HE} \left(1 ; 0 ; 0\right)

    Les coordonnées de DI→\overrightarrow{DI} et du point II sont donc I(13;0;1)I \left(\frac{1}{3} ; 0 ; 1\right)

    Avec un calcul similaire on trouve J(0;13;1)J \left(0 ; \frac{1}{3} ; 1\right)

  2. La droite (AI)\left(AI\right) passe par le point A(1;0;0)A\left(1 ; 0 ; 0\right) et est dirigée par le vecteur AI→(−23;0;1)\overrightarrow{AI}\left( - \frac{2}{3} ; 0 ; 1\right). Pour éviter l'emploi de fraction, on peut dire que le vecteur 3AI→(−2;0;3)3\overrightarrow{AI}\left( - 2 ; 0 ; 3\right) est également un vecteur directeur de (AI)\left(AI\right).

    Une représentation paramétrique de la droite (AI)\left(AI\right) est donc :

    {x=1−2ty=0z=3t\left\{ \begin{matrix} x=1 - 2t \\ y=0 \\ z=3t \end{matrix}\right. avec t∈Rt \in \mathbb{R}

    Remarque : Cette représentation n'est pas unique. Le système :

    {x=1−23ty=0z=t\left\{ \begin{matrix} x=1 - \frac{2}{3}t \\ y=0 \\ z=t \end{matrix}\right. avec t∈Rt \in \mathbb{R}

    par exemple, est lui aussi correct.

    Avec un raisonnement identique on montre que le système :

    {x=0y=1−2tz=3t\left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=1 - 2t \\ z=3t \end{matrix}\right. avec t∈Rt \in \mathbb{R}

    est une représentation paramétrique de la droite (CJ)\left(CJ\right)

  3. Les droites (AI)\left(AI\right) et (CJ)\left(CJ\right) sont sécantes en un point M(x;y;z)M\left(x ; y ; z\right) s'il existe deux réels tt et t′t^{\prime} tels que simultanément :

    {x=1−2ty=0z=3t\left\{ \begin{matrix} x=1 - 2t \\ y=0 \\ z=3t \end{matrix}\right. \qquad et {x=0y=1−2t′z=3t′ \qquad \left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=1 - 2t^{\prime} \\ z=3t^{\prime} \end{matrix}\right.

    Remarque : Attention à remplacer tt par t′t^{\prime} dans le second système car les paramètres ne sont pas nécessairement égaux dans les deux représentations paramétriques.

    Cela entraine :

    {1−2t=00=1−2t′3t=3t′\left\{ \begin{matrix} 1 - 2t=0 \\ 0=1 - 2t^{\prime} \\ 3t=3t^{\prime} \end{matrix}\right.

    Ce système admet une solution : t=12t=\frac{1}{2}, t′=12t^{\prime}=\frac{1}{2} et on obtient alors :

    {x=0y=0z=32\left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=0 \\ z=\frac{3}{2} \end{matrix}\right.

    Les droites (AI)\left(AI\right) et (CJ)\left(CJ\right) sont donc sécantes en un point M(0;0;32)M\left(0 ; 0 ; \frac{3}{2}\right)

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