Représentation paramétrique d'un plan
On munit l'espace d'un repère (O,i⃗,j⃗,k⃗).
Montrer que les points M(1;2;0), N(0;−2;0) et L(−1;1;2) définissent un plan.
Donner une représentation paramétrique de ce plan.
Le point I(−2;−3;2) appartient-il à ce plan ?
Pour montrer que les points M, N et L définissent un plan, il suffit de montrer que les vecteurs MN et ML ne sont pas colinéaires.
Les coordonnées du vecteur MN sont (0−1;−2−2;0−0)=(−1;−4;0)
Les coordonnées du vecteur ML sont (−1−1;1−2;2−0)=(−2;−1;2)
Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles donc MN et ML ne sont pas colinéaires.
Le plan (MNL) passe par M et les vecteurs MN et ML sont deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Une représentation paramétrique du plan (MNL) est donc :
⎩⎨⎧x=1−t−2t′y=2−4t−t′z=2t′ avec t∈R et t′∈R
Le point I appartient au plan (MNL) si et seulement si il existe deux réels k et k′ tels que :
⎩⎨⎧−2=1−t−2t′−3=2−4t−t′2=2t′
La dernière égalité donne t′=1 et en remplaçant t′ par 1 dans la première équation on trouve t=1. On vérifie qu'alors la seconde équation est également vérifiée.
Le point I appartient donc au plan (MNL).
