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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Représentation paramétrique d'un plan

On munit l'espace d'un repère (O,i,j,k)\left(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right).

  1. Montrer que les points M(1;2;0)M\left(1 ; 2 ; 0\right), N(0;2;0)N\left(0 ; - 2 ; 0\right) et L(1;1;2)L\left( - 1 ; 1 ; 2\right) définissent un plan.

  2. Donner une représentation paramétrique de ce plan.

  3. Le point I(2;3;2)I\left( - 2 ; - 3 ; 2\right) appartient-il à ce plan ?

Corrigé

  1. Pour montrer que les points MM, NN et LL définissent un plan, il suffit de montrer que les vecteurs MN\overrightarrow{MN} et ML\overrightarrow{ML} ne sont pas colinéaires.

    Les coordonnées du vecteur MN\overrightarrow{MN} sont (01;22;00)=(1;4;0)\left(0 - 1 ; - 2 - 2 ; 0 - 0\right)=\left( - 1 ; - 4 ; 0\right)

    Les coordonnées du vecteur ML\overrightarrow{ML} sont (11;12;20)=(2;1;2)\left( - 1 - 1 ; 1 - 2 ; 2 - 0\right)=\left( - 2 ; - 1 ; 2\right)

    Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles donc MN\overrightarrow{MN} et ML\overrightarrow{ML} ne sont pas colinéaires.

  2. Le plan (MNL)\left(MNL\right) passe par MM et les vecteurs MN\overrightarrow{MN} et ML\overrightarrow{ML} sont deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

    Une représentation paramétrique du plan (MNL)\left(MNL\right) est donc :

    {x=1t2ty=24ttz=2t\left\{ \begin{matrix} x=1 - t - 2t^{\prime} \\ y=2 - 4t - t^{\prime} \\ z=2t^{\prime} \end{matrix}\right. avec tRt \in \mathbb{R} et tRt^{\prime} \in \mathbb{R}

  3. Le point II appartient au plan (MNL)\left(MNL\right) si et seulement si il existe deux réels kk et kk^{\prime} tels que :

    {2=1t2t3=24tt2=2t\left\{ \begin{matrix} - 2=1 - t - 2t^{\prime} \\ - 3=2 - 4t - t^{\prime} \\ 2=2t^{\prime} \end{matrix}\right.

    La dernière égalité donne t=1t^{\prime}=1 et en remplaçant tt^{\prime} par 11 dans la première équation on trouve t=1t=1. On vérifie qu'alors la seconde équation est également vérifiée.

    Le point II appartient donc au plan (MNL)\left(MNL\right).