$x^{2}+2x$ est le début de l'identité remarquable $x^{2}+2x+1=\left(x+1\right)^{2}$

On peut donc écrire :

$f\left(x\right)=x^{2}+2x - 8=x^{2}+2x+1 - 9=\left(x+1\right)^{2} - 9$

Cette dernière expression est la forme canonique de $f$.

Remarque : On peut également trouver ce résultat grâce à la formule $f\left(x\right)=a\left(x - \alpha \right)^{2}+\beta$ (voir Forme canonique).

$f\left(x\right)=\left(x+1\right)^{2} - 9=\left(x+1\right)^{2} - 3^{2}$

On utilise alors l'identité remarquable :$a^{2} - b^{2}=\left(a+b\right)\left(a - b\right)$ :

$f\left(x\right)=\left[\left(x+1\right)+3\right]\left[\left(x+1\right) - 3\right]=\left(x+4\right)\left(x - 2\right)$

1. La forme développée est ici la plus adaptée :

   $f\left(0\right)=0^{2}+2\times 0 - 8= - 8$

2. La forme factorisée est la plus adaptée ; elle conduit à une équation produit :

   $\left(x+4\right)\left(x - 2\right)=0 \Leftrightarrow x+4=0$ ou $x - 2=0 \Leftrightarrow x= - 4$ ou $x=2$

3. La forme canonique est la plus appropriée ici :

   $\left(x+1\right)^{2}$ est toujours positif ou nul et s'annule pour $x= - 1$.

   Le minimum de $f\left(x\right)=\left(x+1\right)^{2} - 9$ est donc atteint pour $x= - 1$ et vaut $f\left( - 1\right)= - 9$.

   Le sommet de la parabole d'équation $y=x^{2}+2x - 8$ est donc le point $A\left( - 1 ; - 9\right)$