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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Formes canonique et factorisée

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2+2x8f\left(x\right)=x^{2}+2x - 8

  1. Donner la forme canonique de f(x)f\left(x\right).

  2. Factoriser f(x)f\left(x\right).

  3. Parmi les formes développée, canonique et factorisée, choisissez la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes :

    1. Calculer f(0)f\left(0\right).

    2. Résoudre l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0.

    3. Déterminer le sommet de la parabole d'équation y=x2+2x8y=x^{2}+2x - 8.

Corrigé

  1. x2+2xx^{2}+2x est le début de l'identité remarquable x2+2x+1=(x+1)2x^{2}+2x+1=\left(x+1\right)^{2}

    On peut donc écrire :

    f(x)=x2+2x8=x2+2x+19=(x+1)29f\left(x\right)=x^{2}+2x - 8=x^{2}+2x+1 - 9=\left(x+1\right)^{2} - 9

    Cette dernière expression est la forme canonique de ff.

    Remarque : On peut également trouver ce résultat grâce à la formule f(x)=a(xα)2+βf\left(x\right)=a\left(x - \alpha \right)^{2}+\beta (voir Forme canonique).

  2. f(x)=(x+1)29=(x+1)232f\left(x\right)=\left(x+1\right)^{2} - 9=\left(x+1\right)^{2} - 3^{2}

    On utilise alors l'identité remarquable :a2b2=(a+b)(ab)a^{2} - b^{2}=\left(a+b\right)\left(a - b\right) :

    f(x)=[(x+1)+3][(x+1)3]=(x+4)(x2)f\left(x\right)=\left[\left(x+1\right)+3\right]\left[\left(x+1\right) - 3\right]=\left(x+4\right)\left(x - 2\right)

    1. La forme développée est ici la plus adaptée :

      f(0)=02+2×08=8f\left(0\right)=0^{2}+2\times 0 - 8= - 8

    2. La forme factorisée est la plus adaptée ; elle conduit à une équation produit :

      (x+4)(x2)=0x+4=0\left(x+4\right)\left(x - 2\right)=0 \Leftrightarrow x+4=0 ou x2=0x=4x - 2=0 \Leftrightarrow x= - 4 ou x=2x=2

    3. La forme canonique est la plus appropriée ici :

      (x+1)2\left(x+1\right)^{2} est toujours positif ou nul et s'annule pour x=1x= - 1.

      Le minimum de f(x)=(x+1)29f\left(x\right)=\left(x+1\right)^{2} - 9 est donc atteint pour x=1x= - 1 et vaut f(1)=9f\left( - 1\right)= - 9.

      Le sommet de la parabole d'équation y=x2+2x8y=x^{2}+2x - 8 est donc le point A(1;9)A\left( - 1 ; - 9\right)