Fonction carré et second degré
I. La fonction «carré»
Définition
La fonction "carré" est la fonction définie sur R par : x↦x2.
Sa courbe représentative est une parabole.
Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Propriété
La fonction carré est strictement décroissante sur ]−∞;0[ et strictement croissante sur ]0;∞[. Elle admet en 0 un minimum égal à 0.
Tableau de variations de la fonction carrée
Démonstration
Démontrons par exemple que la fonction carré est décroissante sur ]−∞;0[.
Notons f:x↦x2 et soient x1 et x2, deux réels quelconques tels que x1<x2<0.
Alors :
f(x1)−f(x2)=x12−x22=(x1−x2)(x1+x2)
Or x1−x2<0 car x1<x2
et x1+x2<0 car x1 et x2 sont tous les deux négatifs.
Donc le produit (x1−x2)(x1+x2) est positif.
On en déduit f(x1)−f(x2)>0 donc f(x1)>f(x2)
x1<x2<0⇒f(x1)>f(x2), donc la fonction f est strictement décroissante sur ]−∞;0[.
Propriété
Soit a un nombre réel. Dans R, l'équation x2=a
n'admet aucune solution si a<0
admet x=0 comme unique solution si a=0
admet deux solutions √a et −√a si a>0
Exemples
L'équation x2=2 admet deux solutions : √2 et −√2.
L'équation x2+1=0 est équivalente à x2=−1. Elle n'admet donc aucune solution réelle.
II. Fonctions polynômes du second degré
Définition
Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur R par : x↦ax2+bx+c.
où a,b et c sont des réels appelés coefficients et a≠0
Sa courbe représentative est une parabole, elle admet un axe de symétrie parallèle à l'axe des ordonnées.
Remarque
Une expression de la forme ax2+bx+c avec a≠0 est la forme développée d'un polynôme du second degré.
Une expression de la forme a(x−x1)(x−x2) avec a≠0 est la forme factorisée d'un polynôme du second degré.
Théorème
Une fonction polynôme du second degré est :
Si a>0 :
strictement décroissante sur ]−∞;2a−b] et strictement croissante sur [2a−b;+∞[.
Si a<0 :
strictement croissante sur ]−∞;2a−b] et strictement décroissante sur [2a−b;+∞[.
Tableau de variations d'une fonction polynôme du second degré pour a>0
Tableau de variations d'une fonction polynôme du second degré pour a<0
Exemple
Soit f(x)=x2−4x+3
Courbe représentative de f : x⟼x2−4x+3
Propriété et définition
Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur R par : f(x)=ax2+bx+c
f(x) peut s'écrire sous la forme :
f(x)=a(x−α)2+β
avec α=−2ab et β=f(α)
Cette écriture est appelée forme canonique.
(α;β) sont les coordonnées du sommet de la parabole.
Remarque
Une caractéristique de la forme canonique est que la variable x n'apparaît qu'à un seul endroit dans l'écriture.
Exemple
Reprenons l'exemple f(x)=x2−4x+3
On a α=−2ab=−2×1−4=2
et β=f(2)=22−4×2+3=−1
donc la forme canonique de f est :
f(x)=(x−2)2−1
