$f\left(x\right)=x^{2} - 4x+3=x^{2} - 4x+4 - 1$

$x^{2} - 4x+4$ est une identité remarquable : $x^{2} - 4x+4=\left(x - 2\right)^{2}$

Donc :

$f\left(x\right)=\left(x - 2\right)^{2} - 1$

$\left(x - 2\right)^{2}$ est positif ou nul pour tout $x \in \mathbb{R}$ donc :

$\left(x - 2\right)^{2} - 1 \geqslant - 1$

Par ailleurs $f\left(2\right)= - 1$ donc $f$ admet un minimum qui vaut $- 1$.

Ce minimum est atteint pour $x=2$.

(Par contre $f$ n'admet pas de maximum) On pouvait également utiliser le résultat du cours qui dit que le coefficient de $x^{2}$ est positif. Donc la fonction admet un minimum. Ce minimum est atteint pour $x= - \frac{b}{2a}=2$

$\left(x - 2\right)^{2} - 1$ est une identité remarquable du type $a^{2} - b^{2}$.

$\left(x - 2\right)^{2} - 1=\left[\left(x - 2\right) - 1\right]\left[\left(x - 2\right)+1\right]=\left(x - 3\right)\left(x - 1\right)$

$f\left(x\right)$ est nul si et seulement si $\left(x - 3\right)\left(x - 1\right)=0$

C'est une "équation-produit". Il y a deux solutions :

$x - 3=0$ c'est à dire $x=3$

$x - 1=0$ c'est à dire $x=1$

L'ensemble des solutions est $S=\left\{1 ; 3\right\}$