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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Aire maximale


encadrement carré 1

Sur la figure ci-dessus ABCABC est un triangle isocèle en CC, de base AB=4AB= 4 mètres et de hauteur 11 mètre.

PP est un point de [AC]\left[AC\right] et PQRSPQRS est un rectangle.

Où faut-il placer le point PP pour que l'aire du rectangle PQRSPQRS soit maximale ? Justifier votre réponse.

Corrigé

Traçons la hauteur [CH]\left[CH\right] et notons PS=xPS=x

encadrement carré 2

Les droites (CH)\left(CH\right) et (PS)\left(PS\right) sont parallèles donc d'après le théorème de Thalès :

PSHC=ASAH\frac{PS}{HC}=\frac{AS}{AH}

x1=AS2\frac{x}{1}=\frac{AS}{2}

Par conséquent : AS=2xAS=2x

SH=AH−AS=2−2xSH=AH - AS=2 - 2x et SR=2SH=4−4xSR=2SH=4 - 4x

L'aire du rectangle PQRSPQRS est donc :

A=SR×PS=x(4−4x)=−4x2+4x\mathscr A=SR\times PS=x\left(4 - 4x\right)= - 4x^{2}+4x

C'est une fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative est une parabole en forme de « U inversé ». Le sommet de cette parabole est atteint pour x=−b2a=−4−8=12x= - \frac{b}{2a}= - \frac{4}{ - 8}=\frac{1}{2}.

On a alors APAC=PSCH=12\frac{AP}{AC}=\frac{PS}{CH}=\frac{1}{2} donc AP=12ACAP=\frac{1}{2}AC

PP est alors le milieu du segment [AC]\left[AC\right]

L'aire du rectangle PQRSPQRS est donc maximale lorsque PP est le milieu du segment [AC]\left[AC\right].

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