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Seconde

Cours

Fonction "carré" et second degré

I. La fonction «carré»

Définition

La fonction "carré" est la fonction définie sur \mathbb{R} par : x\mapsto x^2.

Sa courbe représentative est une parabole.

Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

fonction carré

Propriété

La fonction carré est strictement décroissante sur \left]-\infty ; 0\right[ et strictement croissante sur \left]0; \infty \right[. Elle admet en 0 un minimum égal à 0.

Tableau de variation polynôme du second degré pour a < 0

Tableau de variations de la fonction carrée

Démonstration

Démontrons par exemple que la fonction carré est décroissante sur \left]-\infty ; 0\right[.

Notons f : x\mapsto x^2 et soient x_1 et x_2, deux réels quelconques tels que x_1 < x_2 < 0.

Alors :

f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=x_1^2-x_2^2=\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)

Or x_1-x_2 < 0 car x_1 < x_2

et x_1+x_2 < 0 car x_1 et x_2 sont tous les deux négatifs.

Donc le produit \left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right) est positif.

On en déduit f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right) > 0 donc f\left(x_1\right) > f\left(x_2\right)

x_1 < x_2 < 0 \Rightarrow f\left(x_1\right) > f\left(x_2\right) , donc la fonction f est strictement décroissante sur \left]-\infty ; 0\right[.

Propriété

Soit a un nombre réel. Dans \mathbb{R}, l'équation x^2=a

  • n'admet aucune solution si a < 0

  • admet x=0 comme unique solution si a=0

  • admet deux solutions \sqrt{a} et -\sqrt{a} si a > 0

Exemples

  • L'équation x^2=2 admet deux solutions : \sqrt{2} et -\sqrt{2}.

  • L'équation x^2+1=0 est équivalente à x^2=-1. Elle n'admet donc aucune solution réelle.

II. Fonctions polynômes du second degré

Définition

Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur \mathbb{R} par : x\mapsto ax^2+bx+c.

où a,b et c sont des réels appelés coefficients et a\neq 0

Sa courbe représentative est une parabole, elle admet un axe de symétrie parallèle à l'axe des ordonnées.

Remarque

Une expression de la forme ax^2+bx+c avec a\neq 0 est la forme développée d'un polynôme du second degré.

Une expression de la forme a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) avec a\neq 0 est la forme factorisée d'un polynôme du second degré.

Théorème

Une fonction polynôme du second degré est : Si a > 0 :

strictement décroissante sur \left]-\infty ; \frac{-b}{2a}\right] et strictement croissante sur \left[\frac{-b}{2a}; +\infty \right[. Si a < 0 :

strictement croissante sur \left]-\infty ; \frac{-b}{2a}\right] et strictement décroissante sur \left[\frac{-b}{2a}; +\infty \right[.

Tableau de variation polynôme du second degré pour a < 0

Tableau de variations d'une fonction polynôme du second degré pour a > 0

Tableau de variation polynôme du second degré pour a < 0

Tableau de variations d'une fonction polynôme du second degré pour a < 0

Exemple

Soit f\left(x\right)=x^2-4x+3

Parabole - Courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré

Courbe représentative de f~:~x\longmapsto x^2-4x+3

Propriété et définition

Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur \mathbb{R} par : f\left(x\right)=ax^2+bx+c

f\left(x\right) peut s'écrire sous la forme :

f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^2+\beta

avec \alpha = -\frac{b}{2a} et \beta = f\left(\alpha \right)

Cette écriture est appelée forme canonique.

\left(\alpha ; \beta \right) sont les coordonnées du sommet de la parabole.

Remarque

Une caractéristique de la forme canonique est que la variable x n'apparaît qu'à un seul endroit dans l'écriture.

Exemple

Reprenons l'exemple f\left(x\right)=x^2-4x+3

On a \alpha =-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\times 1}=2

et \beta =f\left(2\right)=2^2-4\times 2+3=-1

donc la forme canonique de f est :

f\left(x\right)=\left(x-2\right)^2-1

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Dans ce chapitre...

Exercices

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