Exercice corrigéCompléter chacune des lignes ci-dessous à l'aide d'un des symboles \in, \subset, \notin ou \cancel{\subset} :
\quad \pi \; \ldots \; \mathbb{Q}
\quad \mathbb{Z} \; \ldots \; \mathbb{Q}
\quad \mathbb{R} \; \ldots \; \mathbb{Z}
\quad -\dfrac{6}{12} \; \ldots \; \mathbb{D}
\quad -\dfrac{12}{6} \; \ldots \; \mathbb{Z}
\quad \left\{\sqrt{3}\right\} \; \ldots \; \mathbb{R}
\quad \left\{-1~;~0~;~1\right\} \; \ldots \; \mathbb{N}
\quad \mathbb{R}^\star \; \ldots \; \mathbb{R}
Corrigé
\pi \; \notin \; \mathbb{Q}
\pi est un nombre irrationnel (il ne peut pas s'écrire comme quotient de deux entiers). Donc il n'appartient pas à l'ensemble \mathbb{Q} des nombres rationnels.
\mathbb{Z} \; \subset \; \mathbb{Q}
Tous les nombres entiers relatifs sont des nombres rationnels. L'ensemble \mathbb{Z} est donc inclus dans l'ensemble \mathbb{Q}. On met le signe \subset et non \in car \mathbb{Z} est un ensemble et non un nombre.
\mathbb{R} \; \cancel{\subset} \; \mathbb{Z}
Tous les nombres réels ne sont pas des entiers relatifs (par exemple \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \pi, \ldots ne sont pas entiers). Donc l'ensemble \mathbb{R} n'est pas inclus dans \mathbb{Z}.
-\dfrac{6}{12} \; \in \; \mathbb{D}
-\dfrac{6}{12}=-\dfrac{1}{2}=-0,5 est un nombre décimal. Il appartient donc à l'ensemble \mathbb{D} des nombres décimaux.
-\dfrac{12}{6} \; \in \; \mathbb{Z}
-\dfrac{12}{6}=-2 est un nombre entier relatif. Il appartient donc à l'ensemble \mathbb{Z} des nombres entiers relatifs.
\left\{\sqrt{3}\right\} \; \subset \; \mathbb{R}
À cause des accolades, \left\{\sqrt{3}\right\} représente un ensemble. C'est un ensemble qui contient uniquement le nombre réel \sqrt{3}. Cet ensemble est donc inclus dans \mathbb{R} (« inclus » et non « appartient » car il s'agit d'un ensemble).
\left\{-1~;~0~;~1\right\} \; \cancel{\subset} \quad \mathbb{N}
L'ensemble \left\{-1~;~0~;~1\right\} contient le nombre -1 qui n'est pas un entier naturel. Il n'est donc pas inclus dans l'ensemble \mathbb{N}.
\mathbb{R}^\star \; \subset \; \mathbb{R}
L'ensemble \mathbb{R}^\star est l'ensemble de tous les nombres réels à l'exception de 0. Cet ensemble est donc inclus dans \mathbb{R}.