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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Ensembles de nombres : appartenance et inclusion

Compléter chacune des lignes ci-dessous à l'aide d'un des symboles \in, \subset, \notin ou \cancel{\subset} :

  1. πQ\quad \pi \; \ldots \; \mathbb{Q}

  2. ZQ\quad \mathbb{Z} \; \ldots \; \mathbb{Q}

  3. RZ\quad \mathbb{R} \; \ldots \; \mathbb{Z}

  4. 612D\quad - \dfrac{6}{12} \; \ldots \; \mathbb{D}

  5. 126Z\quad - \dfrac{12}{6} \; \ldots \; \mathbb{Z}

  6. {3}R\quad \left\{\sqrt{3}\right\} \; \ldots \; \mathbb{R}

  7. {1 ; 0 ; 1}N\quad \left\{ - 1~;~0~;~1\right\} \; \ldots \; \mathbb{N}

  8. RR\quad \mathbb{R}^\star \; \ldots \; \mathbb{R}

Corrigé

  1. πQ\pi \; \notin \; \mathbb{Q}

    π\pi est un nombre irrationnel (il ne peut pas s'écrire comme quotient de deux entiers). Donc il n'appartient pas à l'ensemble Q\mathbb{Q} des nombres rationnels.

  2. ZQ\mathbb{Z} \; \subset \; \mathbb{Q}

    Tous les nombres entiers relatifs sont des nombres rationnels. L'ensemble Z\mathbb{Z} est donc inclus dans l'ensemble Q\mathbb{Q}. On met le signe \subset et non \in car Z\mathbb{Z} est un ensemble et non un nombre.

  3. RZ \mathbb{R} \; \cancel{\subset} \; \mathbb{Z}

    Tous les nombres réels ne sont pas des entiers relatifs (par exemple 12\dfrac{1}{2}, 13\dfrac{1}{3}, π\pi, \ldots ne sont pas entiers). Donc l'ensemble R\mathbb{R} n'est pas inclus dans Z\mathbb{Z}.

  4. 612D - \dfrac{6}{12} \; \in \; \mathbb{D}

    612=12=0,5 - \dfrac{6}{12}= - \dfrac{1}{2}= - 0,5 est un nombre décimal. Il appartient donc à l'ensemble D\mathbb{D} des nombres décimaux.

  5. 126Z - \dfrac{12}{6} \; \in \; \mathbb{Z}

    126=2 - \dfrac{12}{6}= - 2 est un nombre entier relatif. Il appartient donc à l'ensemble Z\mathbb{Z} des nombres entiers relatifs.

  6. {3}R \left\{\sqrt{3}\right\} \; \subset \; \mathbb{R}

    À cause des accolades, {3}\left\{\sqrt{3}\right\} représente un ensemble. C'est un ensemble qui contient uniquement le nombre réel 3\sqrt{3}. Cet ensemble est donc inclus dans R\mathbb{R} (« inclus » et non « appartient » car il s'agit d'un ensemble).

  7. {1 ; 0 ; 1}N \left\{ - 1~;~0~;~1\right\} \; \cancel{\subset} \quad \mathbb{N}

    L'ensemble {1 ; 0 ; 1}\left\{ - 1~;~0~;~1\right\} contient le nombre 1 - 1 qui n'est pas un entier naturel. Il n'est donc pas inclus dans l'ensemble N.\mathbb{N}.

  8. RR\mathbb{R}^\star \; \subset \; \mathbb{R}

    L'ensemble R\mathbb{R}^\star est l'ensemble de tous les nombres réels à l'exception de 0. Cet ensemble est donc inclus dans R.\mathbb{R}.