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Seconde

moyenExercice corrigé

Ensembles de nombres : appartenance et inclusion

Compléter chacune des lignes ci-dessous à l'aide d'un des symboles ∈\in∈, ⊂\subset⊂, ∉\notin∉ ou ⊂\cancel{\subset}​⊂ :

  1. π…Q\quad \pi \; \ldots \; \mathbb{Q}π…Q

  2. Z…Q\quad \mathbb{Z} \; \ldots \; \mathbb{Q}Z…Q

  3. R…Z\quad \mathbb{R} \; \ldots \; \mathbb{Z}R…Z

  4. −612…D\quad - \dfrac{6}{12} \; \ldots \; \mathbb{D}−​12​​6​​…D

  5. −126…Z\quad - \dfrac{12}{6} \; \ldots \; \mathbb{Z}−​6​​12​​…Z

  6. {3}…R\quad \left\{\sqrt{3}\right\} \; \ldots \; \mathbb{R}{√​3​​​}…R

  7. {−1 ; 0 ; 1}…N\quad \left\{ - 1~;~0~;~1\right\} \; \ldots \; \mathbb{N}{−1 ; 0 ; 1}…N

  8. R⋆…R\quad \mathbb{R}^\star \; \ldots \; \mathbb{R}R​⋆​​…R

Corrigé

  1. π∉Q\pi \; \notin \; \mathbb{Q}π∉Q

    π\piπ est un nombre irrationnel (il ne peut pas s'écrire comme quotient de deux entiers). Donc il n'appartient pas à l'ensemble Q\mathbb{Q}Q des nombres rationnels.

  2. Z⊂Q\mathbb{Z} \; \subset \; \mathbb{Q}Z⊂Q

    Tous les nombres entiers relatifs sont des nombres rationnels. L'ensemble Z\mathbb{Z}Z est donc inclus dans l'ensemble Q\mathbb{Q}Q. On met le signe ⊂\subset⊂ et non ∈\in∈ car Z\mathbb{Z}Z est un ensemble et non un nombre.

  3. R⊂Z \mathbb{R} \; \cancel{\subset} \; \mathbb{Z}R​⊂Z

    Tous les nombres réels ne sont pas des entiers relatifs (par exemple 12\dfrac{1}{2}​2​​1​​, 13\dfrac{1}{3}​3​​1​​, π\piπ,… \ldots… ne sont pas entiers). Donc l'ensemble R\mathbb{R}R n'est pas inclus dans Z\mathbb{Z}Z.

  4. −612∈D - \dfrac{6}{12} \; \in \; \mathbb{D}−​12​​6​​∈D

    −612=−12=−0,5 - \dfrac{6}{12}= - \dfrac{1}{2}= - 0,5−​12​​6​​=−​2​​1​​=−0,5 est un nombre décimal. Il appartient donc à l'ensemble D\mathbb{D}D des nombres décimaux.

  5. −126∈Z - \dfrac{12}{6} \; \in \; \mathbb{Z}−​6​​12​​∈Z

    −126=−2 - \dfrac{12}{6}= - 2−​6​​12​​=−2 est un nombre entier relatif. Il appartient donc à l'ensemble Z\mathbb{Z}Z des nombres entiers relatifs.

  6. {3}⊂R \left\{\sqrt{3}\right\} \; \subset \; \mathbb{R}{√​3​​​}⊂R

    À cause des accolades, {3}\left\{\sqrt{3}\right\}{√​3​​​} représente un ensemble. C'est un ensemble qui contient uniquement le nombre réel 3\sqrt{3}√​3​​​. Cet ensemble est donc inclus dans R\mathbb{R}R (« inclus » et non « appartient » car il s'agit d'un ensemble).

  7. {−1 ; 0 ; 1}⊂N \left\{ - 1~;~0~;~1\right\} \; \cancel{\subset} \quad \mathbb{N}{−1 ; 0 ; 1}​⊂N

    L'ensemble {−1 ; 0 ; 1}\left\{ - 1~;~0~;~1\right\} {−1 ; 0 ; 1} contient le nombre −1 - 1−1 qui n'est pas un entier naturel. Il n'est donc pas inclus dans l'ensemble N.\mathbb{N}.N.

  8. R⋆⊂R\mathbb{R}^\star \; \subset \; \mathbb{R}R​⋆​​⊂R

    L'ensemble R⋆\mathbb{R}^\starR​⋆​​ est l'ensemble de tous les nombres réels à l'exception de 0. Cet ensemble est donc inclus dans R.\mathbb{R}.R.

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