Ensembles de nombres : appartenance et inclusion

$\pi \; \notin \; \mathbb{Q}$

$\pi$ est un nombre irrationnel (il ne peut pas s'écrire comme quotient de deux entiers). Donc il n'appartient pas à l'ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels.

$\mathbb{Z} \; \subset \; \mathbb{Q}$

Tous les nombres entiers relatifs sont des nombres rationnels. L'ensemble $\mathbb{Z}$ est donc inclus dans l'ensemble $\mathbb{Q}$. On met le signe $\subset$ et non $\in$ car $\mathbb{Z}$ est un ensemble et non un nombre.

$\mathbb{R} \; \cancel{\subset} \; \mathbb{Z}$

Tous les nombres réels ne sont pas des entiers relatifs (par exemple $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\pi$,$\ldots$ ne sont pas entiers). Donc l'ensemble $\mathbb{R}$ n'est pas inclus dans $\mathbb{Z}$.

$- \dfrac{6}{12} \; \in \; \mathbb{D}$

$- \dfrac{6}{12}= - \dfrac{1}{2}= - 0,5$ est un nombre décimal. Il appartient donc à l'ensemble $\mathbb{D}$ des nombres décimaux.

$- \dfrac{12}{6} \; \in \; \mathbb{Z}$

$- \dfrac{12}{6}= - 2$ est un nombre entier relatif. Il appartient donc à l'ensemble $\mathbb{Z}$ des nombres entiers relatifs.

$\left\{\sqrt{3}\right\} \; \subset \; \mathbb{R}$

À cause des accolades, $\left\{\sqrt{3}\right\}$ représente un ensemble. C'est un ensemble qui contient uniquement le nombre réel $\sqrt{3}$. Cet ensemble est donc inclus dans $\mathbb{R}$ (« inclus » et non « appartient » car il s'agit d'un ensemble).

$\left\{ - 1~;~0~;~1\right\} \; \cancel{\subset} \quad \mathbb{N}$

L'ensemble $\left\{ - 1~;~0~;~1\right\}$ contient le nombre $- 1$ qui n'est pas un entier naturel. Il n'est donc pas inclus dans l'ensemble $\mathbb{N}.$

$\mathbb{R}^\star \; \subset \; \mathbb{R}$

L'ensemble $\mathbb{R}^\star$ est l'ensemble de tous les nombres réels à l'exception de 0. Cet ensemble est donc inclus dans $\mathbb{R}.$