Exercice 2

Commun à tous les candidats

La courbe $\left(C_{f}\right)$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$.

• La tangente $T$ à la courbe $\left(C_{f}\right)$ au point $A\left(0 ; 3\right)$ passe par le point $B\left(1 ; 5\right)$.

• La droite $D$ d'équation $y=1$ est asymptote horizontale à la courbe $\left(C_{f}\right)$ au voisinage de $+\infty$.

1. En utilisant les données et le graphique, préciser :

   1. La valeur du réel $f\left(0\right)$ et la valeur du réel $f^{\prime}\left(0\right)$.

   2. La limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

2. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\left(C_{f}\right)$ au point $A$.

3. Préciser un encadrement par deux entiers consécutifs de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe $\left(C_{f}\right)$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$.

4. On admet que la fonction $f$ est définie, pour tout nombre réel $x$, par une expression de la forme $f\left(x\right)=1+\frac{ax+b}{\text{e}^{x}}$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

   1. Déterminer l'expression de $f^{\prime}\left(x\right)$ en fonction de $a$, de $b$ et de $x$.

   2. À l'aide des résultats de la question 1.a., démontrer que l'on a, pour tout réel $x$ :

      $f\left(x\right)=1+\frac{4x+2}{\text{e}^{x}}$.

5. Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $F\left(x\right)=x+\frac{ - 4x - 6}{\text{e}^{x}}$. On admet que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

   Déterminer la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{ - 2}$ près de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe $\left(C_{f}\right)$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$. Ce résultat est-il cohérent avec l'encadrement obtenu à la question 3?