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Tle Complément.

moyenExercice corrigé

Probabilites : Loi uniforme

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle \left[1;5\right]

  1. Calculer p\left(X < 2\right), p\left(2\leqslant X\leqslant 4\right), p\left(X > 3\right).
  2. Quelle est l’espérance mathématique de X ?
  3. Quelle est la probabilité que X soit supérieur à 3 sachant que X est supérieur à 2.

Corrigé

  1. p\left(X < 2\right)=p\left(1 < X < 2\right)=\frac{2-1}{5-1}=\frac{1}{4}
    p\left(2\leqslant X\leqslant 4\right)=\frac{4-2}{5-1}=\frac{1}{2}
    p\left(X > 3\right)=p\left(3 < X < 5\right)=\frac{5-3}{5-1}=\frac{1}{2}
  2. E\left(X\right)=\frac{1+5}{2}=3
  3. La probabilité cherchée est :
    p_{X > 2}\left(X > 3\right)=\frac{p\left(\left(X > 2\right) \cap \left(X > 3\right)\right)}{p\left(X > 2\right)}
    Si Xest supérieur à 3, il est obligatoirement supérieur à 2 donc \left(X > 2\right) \cap \left(X > 3\right) = \left(X > 3\right)
    p_{X > 2}\left(X > 3\right)=\frac{p\left(X > 3\right)}{p\left(X > 2\right)}
    p\left(X > 3\right)=p\left(3 < X < 5\right)=\frac{5-3}{5-1}=\frac{1}{2} et p\left(X > 2\right)=p\left(2 < X < 5\right)=\frac{5-2}{5-1}=\frac{3}{4}
    Par conséquent :
    p_{X > 2}\left(X > 3\right)=\frac{1/2}{3/4}=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}=\frac{2}{3}
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