Exercice corrigéSoit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle \left[1;5\right]
- Calculer p\left(X < 2\right), p\left(2\leqslant X\leqslant 4\right), p\left(X > 3\right).
- Quelle est l’espérance mathématique de X ?
- Quelle est la probabilité que X soit supérieur à 3 sachant que X est supérieur à 2.
Corrigé
- p\left(X < 2\right)=p\left(1 < X < 2\right)=\frac{2-1}{5-1}=\frac{1}{4}
p\left(2\leqslant X\leqslant 4\right)=\frac{4-2}{5-1}=\frac{1}{2}
p\left(X > 3\right)=p\left(3 < X < 5\right)=\frac{5-3}{5-1}=\frac{1}{2} - E\left(X\right)=\frac{1+5}{2}=3
- La probabilité cherchée est :
p_{X > 2}\left(X > 3\right)=\frac{p\left(\left(X > 2\right) \cap \left(X > 3\right)\right)}{p\left(X > 2\right)}
Si Xest supérieur à 3, il est obligatoirement supérieur à 2 donc \left(X > 2\right) \cap \left(X > 3\right) = \left(X > 3\right)
p_{X > 2}\left(X > 3\right)=\frac{p\left(X > 3\right)}{p\left(X > 2\right)}
p\left(X > 3\right)=p\left(3 < X < 5\right)=\frac{5-3}{5-1}=\frac{1}{2} et p\left(X > 2\right)=p\left(2 < X < 5\right)=\frac{5-2}{5-1}=\frac{3}{4}
Par conséquent :
p_{X > 2}\left(X > 3\right)=\frac{1/2}{3/4}=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}=\frac{2}{3}
