Probabilites : Loi uniforme

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle $\left[1;5\right]$

Calculer $p\left(X < 2\right)$ , $p\left(2\leqslant X\leqslant 4\right)$ , $p\left(X > 3\right)$ .
Quelle est l’espérance mathématique de $X$ ?
Quelle est la probabilité que $X$ soit supérieur à $3$ sachant que $X$ est supérieur à $2$ .

Corrigé

$p\left(X < 2\right)=p\left(1 < X < 2\right)=\frac{2-1}{5-1}=\frac{1}{4}$
$p\left(2\leqslant X\leqslant 4\right)=\frac{4-2}{5-1}=\frac{1}{2}$
$p\left(X > 3\right)=p\left(3 < X < 5\right)=\frac{5-3}{5-1}=\frac{1}{2}$
$E\left(X\right)=\frac{1+5}{2}=3$
La probabilité cherchée est :
$p_{X > 2}\left(X > 3\right)=\frac{p\left(\left(X > 2\right) \cap \left(X > 3\right)\right)}{p\left(X > 2\right)}$
Si $X$ est supérieur à $3$ , il est obligatoirement supérieur à $2$ donc $\left(X > 2\right) \cap \left(X > 3\right) = \left(X > 3\right)$
$p_{X > 2}\left(X > 3\right)=\frac{p\left(X > 3\right)}{p\left(X > 2\right)}$
$p\left(X > 3\right)=p\left(3 < X < 5\right)=\frac{5-3}{5-1}=\frac{1}{2}$ et $p\left(X > 2\right)=p\left(2 < X < 5\right)=\frac{5-2}{5-1}=\frac{3}{4}$
Par conséquent :
$p_{X > 2}\left(X > 3\right)=\frac{1/2}{3/4}=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}=\frac{2}{3}$