Arbre - Lancers successifs

On lance plusieurs fois un dé à six faces (numérotées de 1 à 6) bien équilibré.

On s'arrête :

Représenter cette expérience par un arbre pondéré.
Quelle est la probabilité de ne jamais obtenir le chiffre 6 au cours des 4 lancés.
$X$ est la variable aléatoire qui comptabilise le nombre total de lancer avant l'arrêt.

Quelles sont les différentes valeurs possibles pour $X$ ?

Donner la loi de probabilité de $X$ .

Corrigé

$Arbre pondéré$

$S$ est l'évènement : "on obtient le chiffre 6" ;
$\overline{S}$ est l'évènement contraire.
La probabilité de ne jamais obtenir de "6" au cours de cette expérience est :

$p=\frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\times \frac{5}{6}=\frac{625}{1296}$

$X$ peut prendre les valeurs: 1, 2, 3, 4

$X=1$ si on obtient un 6 lors du premier lancer.

$p\left(X=1\right)=\frac{1}{6}$

$X=2$ si on n'obtient pas de 6 lors du premier lancer et si l'on en obtient un lors du second lancer.

$p\left(X=2\right)=\frac{5}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{5}{36}$

De même :

$p\left(X=3\right)=\frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{25}{216}$

La somme des probabilité de toutes les issues étant égale à 1 :

$p\left(X=1\right)+p\left(X=2\right)+p\left(X=3\right)+p\left(X=4\right)=1$

Par conséquent :

$p\left(X=4\right)=1 - \frac{1}{6} - \frac{5}{36} - \frac{25}{216}=\frac{125}{216}$

On obtient donc le tableau suivant :

$x_{i}$	1	2	3	4
$p\left(X=x_{i}\right)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{25}{216}$	$\frac{125}{216}$