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Première

moyenExercice corrigé

Arbre - Lancers successifs

On lance plusieurs fois un dé à six faces (numérotées de 1 à 6) bien équilibré.
On s'arrête :

  • dès que le chiffre 6 est obtenu
  • au 4ème lancer au plus tard (même si le chiffre 6 n'a pas été obtenu)
  1. Représenter cette expérience par un arbre pondéré.
  2. Quelle est la probabilité de ne jamais obtenir le chiffre 6 au cours des 4 lancés.
  3. X est la variable aléatoire qui comptabilise le nombre total de lancer avant l'arrêt.
    Quelles sont les différentes valeurs possibles pour X?
    Donner la loi de probabilité de X.

Corrigé

  1.  
    S est l'évènement : "on obtient le chiffre 6" ; \overline{S} est l'évènement contraire.
  2. La probabilité de ne jamais obtenir de "6" au cours de cette expérience est :
    p=\frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\times \frac{5}{6}=\frac{625}{1296}
  3. X peut prendre les valeurs: 1, 2, 3, 4
    X=1 si on obtient un 6 lors du premier lancer.
    p\left(X=1\right)=\frac{1}{6}
    X=2 si on n'obtient pas de 6 lors du premier lancer et si l'on en obtient un lors du second lancer.
    p\left(X=2\right)=\frac{5}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{5}{36}
    De même :
    p\left(X=3\right)=\frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{25}{216}
    La somme des probabilité de toutes les issues étant égale à 1 :
    p\left(X=1\right)+p\left(X=2\right)+p\left(X=3\right)+p\left(X=4\right)=1
    Par conséquent :
    p\left(X=4\right)=1-\frac{1}{6}-\frac{5}{36}-\frac{25}{216}=\frac{125}{216}
    On obtient donc le tableau suivant :

    x_{i} 1 2 3 4
    p\left(X=x_{i}\right) \frac{1}{6} \frac{5}{36} \frac{25}{216} \frac{125}{216}
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