Exercice corrigéOn lance plusieurs fois un dé à six faces (numérotées de 1 à 6) bien équilibré.
On s’arrête :
- dès que le chiffre 6 est obtenu
- au 4ème lancer au plus tard (même si le chiffre 6 n’a pas été obtenu)
- Représenter cette expérience par un arbre pondéré.
- Quelle est la probabilité de ne jamais obtenir le chiffre 6 au cours des 4 lancés.
- X est la variable aléatoire qui comptabilise le nombre total de lancer avant l’arrêt.
Quelles sont les différentes valeurs possibles pour X?
Donner la loi de probabilité de X.
Corrigé
-
S est l’évènement : « on obtient le chiffre 6 » ; \overline{S} est l’évènement contraire. - La probabilité de ne jamais obtenir de « 6 » au cours de cette expérience est :
p=\frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\times \frac{5}{6}=\frac{625}{1296} - X peut prendre les valeurs: 1, 2, 3, 4
X=1 si on obtient un 6 lors du premier lancer.
p\left(X=1\right)=\frac{1}{6}
X=2 si on n’obtient pas de 6 lors du premier lancer et si l’on en obtient un lors du second lancer.
p\left(X=2\right)=\frac{5}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{5}{36}
De même :
p\left(X=3\right)=\frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{25}{216}
La somme des probabilité de toutes les issues étant égale à 1 :
p\left(X=1\right)+p\left(X=2\right)+p\left(X=3\right)+p\left(X=4\right)=1
Par conséquent :
p\left(X=4\right)=1-\frac{1}{6}-\frac{5}{36}-\frac{25}{216}=\frac{125}{216}
On obtient donc le tableau suivant :x_{i} 1 2 3 4 p\left(X=x_{i}\right) \frac{1}{6} \frac{5}{36} \frac{25}{216} \frac{125}{216}
