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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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[Bac] Variables aléatoires - Espérance mathématique

[D'après Bac S Métropole 2009) Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :

7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3.

On tire simultanément deux jetons de ce sac.

  1. On note A l'événement "obtenir deux jetons blancs".

    Démontrer que la probabilité de l'événement A est égale à 715\frac{7}{15}. (On pourra utiliser un arbre pondéré)

  2. Soit XX la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.

    1. Déterminer la loi de probabilité de XX.

    2. Calculer l'espérance mathématique de XX.

Corrigé

  1. L'expérience peut être modélisée par l'arbre ci-dessous (les fractions n'ont volontairement pas été simplifiées) :

    Arbre pondéré

    La probabilité d'obtenir deux jetons blancs est :

    p(A)=710×69=715p\left(A\right)=\frac{7}{10}\times \frac{6}{9}=\frac{7}{15}

    1. XX peut prendre les valeurs 0;10; 1 et 22.

      Grâce à l'arbre ci-dessus on trouve :

      p(X=0)=310×29=115p\left(X=0\right)=\frac{3}{10}\times \frac{2}{9}=\frac{1}{15}

      p(X=1)=710×39+310×79=115=715p\left(X=1\right)=\frac{7}{10}\times \frac{3}{9}+\frac{3}{10}\times \frac{7}{9}=\frac{1}{15}=\frac{7}{15}

      La loi de probabilité de XX est donnée par le tableau :

      xix_{i} 00 11 22
      p(X=xi)p\left(X=x_{i}\right) 115\frac{1}{15} 715\frac{7}{15} 715\frac{7}{15}

    2. L'espérance mathématique est égale à :

      E(X)=0×115+1×715+2×715=75E\left(X\right)=0\times \frac{1}{15}+1\times \frac{7}{15}+2\times \frac{7}{15}=\frac{7}{5}

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