Pour ne pas surcharger la figure, seules les probabilités utilisées lors des questions suivantes ont été indiquées.

• Au premier niveau (tirage de la première boule), l'urne contient $n$ boules blanches sur un total de $3n$ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc $\frac{n}{3n} = \frac{1}{3}$.

  L'urne contient $2n$ boules rouges sur un total de $3n$ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc $\frac{2n}{3n} = \frac{2}{3}$.

• Au second niveau (tirage de la seconde boule) :

  • Si l'on a tiré une boule blanche en premier , il reste alors $n - 1$ boules blanches sur un total de $3n - 1$ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc alors $\frac{n - 1}{3n - 1}$.

  • ...

  • Si l'on a tiré une boule rouge en premier , il reste alors $2n - 1$ boules rouges sur un total de $3n - 1$ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc alors $\frac{2n - 1}{3n - 1}$.

• Au troisième niveau (tirage de la troisième boule) :

  • Si l'on a tiré deux boules blanches lors des deux premiers tirages, il reste alors $n - 2$ boules blanches sur un total de $3n - 2$ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc alors $\frac{n - 2}{3n - 2}$.

  • ...

  • Si l'on a tiré deux boules rouges lors des deux premiers tirages, il reste alors $2n - 2$ boules rouges sur un total de $3n - 2$ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc alors $\frac{2n - 2}{3n - 2}$.

$X$ prend la valeur -16 si les trois boules sont blanches, c'est à dire avec une probabilité :

$p(X= - 16)=\frac{1}{3} \times \frac{n - 1}{3n - 1} \times \frac{n - 2}{3n - 2}$

$p(X= - 16)=\frac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)}$

$X$ prend la valeur -2 si les trois boules sont rouges, c'est à dire avec une probabilité :

$p(X=2)=\frac{2}{3} \times \frac{2n - 1}{3n - 1} \times \frac{2n - 2}{3n - 2}$

$p(X=2)=\frac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)}$

Dans les autres cas $X$ prend la valeur $0$.

Le total des probabilités étant égal à $1$ on obtient :

$p(X=0)=1 - p(X= - 16) - p(X=2)$

$p(X=0)=1 - \frac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)}$$- \frac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)}$

$p(X=0)=\frac{6n^2 - 4n}{(3n - 1)(3n - 2)}$

La loi de probabilité de $X$ est donc :

L'espérance mathématique de $X$ est :

$E(X)= - 16\times p(X= - 16)+0 \times p(X=0)+2 \times p(X=2)$

$\phantom{E(X)}= - 16\times \frac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)}$$+ 2 \times \frac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)}$

$\phantom{E(X)}= - 16\times \frac{n^2 - 3n+2}{3(3n - 1)(3n - 2)}$$+ 2 \times \frac{8n^2 - 12n+4}{3(3n - 1)(3n - 2)}$

$\phantom{E(X)}=\frac{24n - 24}{3(3n - 1)(3n - 2)}$

$\phantom{E(X)}=\frac{8(n - 1)}{(3n - 1)(3n - 2)}$

1. La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\left[1;+\infty \right[$.

   $f$ est de la forme $\frac{u}{v}$ avec

   $u(x)=x - 1$ donc $u ^{\prime}(x)=1$

   $v(x)=(3x - 1)(3x - 2)=9x^2 - 9x+2$ donc $v^{\prime}(x) = 18x - 9$

   Par conséquent :

   $f^{\prime}(x)=\frac{9x^2 - 9x+2 - (x - 1)(18x - 9)}{(3x - 1)(3x - 2))^2}$

   $f^{\prime}(x)=\frac{ - 9x^2+18x - 7}{((3x - 1)(3x - 2))^2}$

   Le dénominateur est positif et le numérateur est un polynôme du second degré.

   $\Delta = 18^2 - 4 \times 7 \times 9=72 > 0$

   Le numérateur admet deux racines :

   $x_1 = \frac{ - 18+6\sqrt{2}}{ - 18}= \frac{3 - \sqrt{2}}{3}$

   $x_2 = \frac{ - 18 - 6\sqrt{2}}{ - 18}= \frac{3+\sqrt{2}}{3}$

   $x_1$ est inférieur à $1$ et $x_2 \approx 1,47 \in \left[1;+\infty \right[$.

   On obtient le tableau de variations suivant sur $\left[1;+\infty \right[$ :

   

2. D'après la question 2., $E(X)=8f(n)$

   L'espérance mathématique est donc maximale pour la valeur de $n$ qui maximise $f(n)$.

   D'après la question précédente $f$ est décroissante sur $\left[x_2;+\infty\right[$ donc sur $\left[2;+\infty\right[$ puisque $x_2 < 2$.

   Les seules valeurs entières susceptibles de maximiser $f$ sont donc $1$ ou $2$.

   Or $f(1)=0$ et $f(2)=\frac{1}{20}$.

   Donc, l'espérance mathématique est maximale pour $n=2$ c'est à dire si l'urne contient $2$ boules blanches et $4$ boules rouges.

   Cette espérance vaut alors $E(X)=8f(2)=\frac{8}{20}=0,4$