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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Espérance mathématique maximale

Une urne contient nn boules blanches et 2n2n boules rouges (avec n1n \geqslant 1).

On tire au hasard et sans remise, trois boules de l'urne.

  1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

  2. On considère le jeu suivant :

    • Si toutes les boules tirées sont blanches, le joueur perd 16 euros.

    • Si toutes les boules tirées sont rouges, le joueur gagne 2 euros.

    • Dans les autres cas, le joueur ne gagne rien et ne perd rien.

    On note XX la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.

    Déterminer la loi de probabilité de XX.

    Calculer l'espérance mathématique E(X)E(X).

  3. Soit la fonction ff définie sur [1 ; +[\left[1~;~+\infty\right[ par f(x)=x1(3x1)(3x2)f(x)=\frac{x - 1}{(3x - 1)(3x - 2)}.

    1. Etudier les variations de la fonction ff.

    2. Combien de boules doit contenir l'urne pour que l'espérance mathématique E(X)E(X) soit maximale ?

      Quelle est alors la valeur de cette espérance mathématique ?

Corrigé

  1. Pour ne pas surcharger la figure, seules les probabilités utilisées lors des questions suivantes ont été indiquées.

    Arbre pondéré

    • Au premier niveau (tirage de la première boule), l'urne contient nn boules blanches sur un total de 3n3n boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc n3n=13\frac{n}{3n} = \frac{1}{3}.

      L'urne contient 2n2n boules rouges sur un total de 3n3n boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc 2n3n=23\frac{2n}{3n} = \frac{2}{3}.

    • Au second niveau (tirage de la seconde boule) :

      • Si l'on a tiré une boule blanche en premier , il reste alors n1n - 1 boules blanches sur un total de 3n13n - 1 boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc alors n13n1\frac{n - 1}{3n - 1}.

      • ...

      • Si l'on a tiré une boule rouge en premier , il reste alors 2n12n - 1 boules rouges sur un total de 3n13n - 1 boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc alors 2n13n1\frac{2n - 1}{3n - 1}.

    • Au troisième niveau (tirage de la troisième boule) :

      • Si l'on a tiré deux boules blanches lors des deux premiers tirages, il reste alors n2n - 2 boules blanches sur un total de 3n23n - 2 boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc alors n23n2\frac{n - 2}{3n - 2}.

      • ...

      • Si l'on a tiré deux boules rouges lors des deux premiers tirages, il reste alors 2n22n - 2 boules rouges sur un total de 3n23n - 2 boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc alors 2n23n2\frac{2n - 2}{3n - 2}.

  2. XX prend la valeur -16 si les trois boules sont blanches, c'est à dire avec une probabilité :

    p(X=16)=13×n13n1×n23n2p(X= - 16)=\frac{1}{3} \times \frac{n - 1}{3n - 1} \times \frac{n - 2}{3n - 2}

    p(X=16)=(n1)(n2)3(3n1)(3n2)p(X= - 16)=\frac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)}

    XX prend la valeur -2 si les trois boules sont rouges, c'est à dire avec une probabilité :

    p(X=2)=23×2n13n1×2n23n2p(X=2)=\frac{2}{3} \times \frac{2n - 1}{3n - 1} \times \frac{2n - 2}{3n - 2}

    p(X=2)=2(2n1)(2n2)3(3n1)(3n2)p(X=2)=\frac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)}

    Dans les autres cas XX prend la valeur 00.

    Le total des probabilités étant égal à 11 on obtient :

    p(X=0)=1p(X=16)p(X=2)p(X=0)=1 - p(X= - 16) - p(X=2)

    p(X=0)=1(n1)(n2)3(3n1)(3n2)p(X=0)=1 - \frac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)}2(2n1)(2n2)3(3n1)(3n2) - \frac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)}

    p(X=0)=6n24n(3n1)(3n2)p(X=0)=\frac{6n^2 - 4n}{(3n - 1)(3n - 2)}

    La loi de probabilité de XX est donc :

    xix_i 16 - 16 00 22
    p(X=xi)p(X=x_i) (n1)(n2)3(3n1)(3n2)\frac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} 6n24n(3n1)(3n2)\frac{6n^2 - 4n}{(3n - 1)(3n - 2)} 2(2n1)(2n2)3(3n1)(3n2)\frac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)}

    L'espérance mathématique de XX est :

    E(X)=16×p(X=16)+0×p(X=0)+2×p(X=2)E(X)= - 16\times p(X= - 16)+0 \times p(X=0)+2 \times p(X=2)

    E(X)=16×(n1)(n2)3(3n1)(3n2)\phantom{E(X)}= - 16\times \frac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)}+2×2(2n1)(2n2)3(3n1)(3n2)+ 2 \times \frac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)}

    E(X)=16×n23n+23(3n1)(3n2)\phantom{E(X)}= - 16\times \frac{n^2 - 3n+2}{3(3n - 1)(3n - 2)}+2×8n212n+43(3n1)(3n2)+ 2 \times \frac{8n^2 - 12n+4}{3(3n - 1)(3n - 2)}

    E(X)=24n243(3n1)(3n2)\phantom{E(X)}=\frac{24n - 24}{3(3n - 1)(3n - 2)}

    E(X)=8(n1)(3n1)(3n2)\phantom{E(X)}=\frac{8(n - 1)}{(3n - 1)(3n - 2)}

    1. La fonction ff est définie et dérivable sur [1;+[\left[1;+\infty \right[.

      ff est de la forme uv\frac{u}{v} avec

      u(x)=x1u(x)=x - 1 donc u(x)=1u ^{\prime}(x)=1

      v(x)=(3x1)(3x2)=9x29x+2v(x)=(3x - 1)(3x - 2)=9x^2 - 9x+2 donc v(x)=18x9v^{\prime}(x) = 18x - 9

      Par conséquent :

      f(x)=9x29x+2(x1)(18x9)(3x1)(3x2))2f^{\prime}(x)=\frac{9x^2 - 9x+2 - (x - 1)(18x - 9)}{(3x - 1)(3x - 2))^2}

      f(x)=9x2+18x7((3x1)(3x2))2f^{\prime}(x)=\frac{ - 9x^2+18x - 7}{((3x - 1)(3x - 2))^2}

      Le dénominateur est positif et le numérateur est un polynôme du second degré.

      Δ=1824×7×9=72>0\Delta = 18^2 - 4 \times 7 \times 9=72 > 0

      Le numérateur admet deux racines :

      x1=18+6218=323x_1 = \frac{ - 18+6\sqrt{2}}{ - 18}= \frac{3 - \sqrt{2}}{3}

      x2=186218=3+23x_2 = \frac{ - 18 - 6\sqrt{2}}{ - 18}= \frac{3+\sqrt{2}}{3}

      x1x_1 est inférieur à 11 et x21,47[1;+[x_2 \approx 1,47 \in \left[1;+\infty \right[.

      On obtient le tableau de variations suivant sur [1;+[\left[1;+\infty \right[ :

      Espérance mathématique maximale

    2. D'après la question 2., E(X)=8f(n)E(X)=8f(n)

      L'espérance mathématique est donc maximale pour la valeur de nn qui maximise f(n)f(n).

      D'après la question précédente ff est décroissante sur [x2;+[\left[x_2;+\infty\right[ donc sur [2;+[\left[2;+\infty\right[ puisque x2<2x_2 < 2.

      Les seules valeurs entières susceptibles de maximiser ff sont donc 11 ou 22.

      Or f(1)=0f(1)=0 et f(2)=120f(2)=\frac{1}{20}.

      Donc, l'espérance mathématique est maximale pour n=2n=2 c'est à dire si l'urne contient 22 boules blanches et 44 boules rouges.

      Cette espérance vaut alors E(X)=8f(2)=820=0,4E(X)=8f(2)=\frac{8}{20}=0,4