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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Arbre et loi de probabilité

On lance 3 pièces bien équilibrées valant respectivement 1€, 2€ et 2€.

On veut étudier la variable aléatoire XX qui totalise le montant en euros des pièces tombées sur Pile.

  1. Représenter l'expérience par un arbre pondéré.

  2. Quelles sont les différentes valeurs possibles pour XX?

    Donner la loi de probabilité de XX.

  3. Quelle est la probabilité d'obtenir un résultat supérieur ou égal à 3€ ?

Corrigé

  1. Arbre pondéré

    Pour simplifier la lecture de l'arbre chaque évènement a été représenté par le montant généré (par exemple "1" signifie que la pièce de 1 euro a donné "Pile")

  2. Les valeurs prises par la variable aléatoire XX sont :

    0 \quad (0+0+0)

    1 \quad (1+0+0)

    2 \quad (0+2+0 ou 0+0+2)

    3 \quad (1+2+0 ou 1+0+2)

    4 \quad (0+2+2)

    5 \quad (1+2+2)

    Chaque éventualité (issue) a une probabilité de 12×12×12=18\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}. Les évènements X=2X=2 et X=3X=3 correspondent chacun à 2 éventualités. On obtient donc le tableau suivant :

    xix_{i} 0 1 2 3 4 5
    p(X=xi)p\left(X=x_{i}\right) 18\frac{1}{8} 18\frac{1}{8} 14\frac{1}{4} 14\frac{1}{4} 18\frac{1}{8} 18\frac{1}{8}

  3. On recherche p(X⩾3)p\left(X\geqslant 3\right).

    p(X⩾3)=p(X=3)+p(X=4)+p(X=5)=14+18+18=12p\left(X\geqslant 3\right)=p\left(X=3\right)+p\left(X=4\right)+p\left(X=5\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}

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