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Terminale

facileExercice corrigé

Trigonométrie : TVI et utilisation des formules trigonométriques

  1. Montrer que l'équation \sin\left(x\right)=\frac{1}{4} possède une unique solution \alpha sur l'intervalle \left[0 ; \frac{\pi }{2}\right].
  2. A la calculatrice, donner un encadrement de \alpha à 10^{-2} près.
  3. Donner la valeur exacte de
    ♦  \cos\left(\alpha \right)
    ♦  \cos\left(\pi +\alpha \right)
    ♦  \sin\left(2\alpha \right)
    ♦  \cos\left(2\alpha \right)

Corrigé

  1. La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l'intervalle \left[0;\frac{\pi }{2}\right].
    \frac{1}{4} est compris entre \sin 0=0 et \sin \frac{\pi }{2}=1.
    Donc d'après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction strictement croissante, l'équation \sin\left(x\right)=\frac{1}{4} possède une unique solution sur l'intervalle \left[0 ; \frac{\pi }{2}\right].
  2. A la calculatrice on trouve :
    \sin\left(0,25\right) \approx 0,247
    \sin\left(0,26\right) \approx 0,257
    donc 0,25 < \alpha < 0,26
  3. \cos^{2}\alpha =1-\sin^{2}\alpha =1-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{16}
    Comme \alpha \in \left[0;\frac{\pi }{2}\right], son cosinus est positif donc :
    ♦  \cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}
    ♦  \cos \left( \pi +\alpha \right) = -\cos \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4}
    On utilise les formules de duplication :
    \sin 2\alpha =2 \sin\alpha \cos\alpha =2\frac{\sqrt{15}}{4}\times \frac{1}{4}
    ♦  \sin 2\alpha =\frac{\sqrt{15}}{8}
    \cos 2\alpha =\cos^{2}\alpha -\sin^{2}\alpha =\frac{15}{16}-\frac{1}{16}=\frac{14}{16}
    ♦  \cos 2\alpha =\frac{7}{8}
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