Exercice corrigé- Montrer que l'équation \sin\left(x\right)=\frac{1}{4} possède une unique solution \alpha sur l'intervalle \left[0 ; \frac{\pi }{2}\right].
- A la calculatrice, donner un encadrement de \alpha à 10^{-2} près.
- Donner la valeur exacte de
♦ \cos\left(\alpha \right)
♦ \cos\left(\pi +\alpha \right)
♦ \sin\left(2\alpha \right)
♦ \cos\left(2\alpha \right)
Corrigé
- La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l'intervalle \left[0;\frac{\pi }{2}\right].
\frac{1}{4} est compris entre \sin 0=0 et \sin \frac{\pi }{2}=1.
Donc d'après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction strictement croissante, l'équation \sin\left(x\right)=\frac{1}{4} possède une unique solution sur l'intervalle \left[0 ; \frac{\pi }{2}\right]. - A la calculatrice on trouve :
\sin\left(0,25\right) \approx 0,247
\sin\left(0,26\right) \approx 0,257
donc 0,25 < \alpha < 0,26 - \cos^{2}\alpha =1-\sin^{2}\alpha =1-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{16}
Comme \alpha \in \left[0;\frac{\pi }{2}\right], son cosinus est positif donc :
♦ \cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}
♦ \cos \left( \pi +\alpha \right) = -\cos \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4}
On utilise les formules de duplication :
\sin 2\alpha =2 \sin\alpha \cos\alpha =2\frac{\sqrt{15}}{4}\times \frac{1}{4}
♦ \sin 2\alpha =\frac{\sqrt{15}}{8}
\cos 2\alpha =\cos^{2}\alpha -\sin^{2}\alpha =\frac{15}{16}-\frac{1}{16}=\frac{14}{16}
♦ \cos 2\alpha =\frac{7}{8}
