La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$.

$\frac{1}{4}$ est compris entre $\sin 0=0$ et $\sin \frac{\pi }{2}=1$.

Donc d'après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction strictement croissante, l'équation $\sin\left(x\right)=\frac{1}{4}$ possède une unique solution sur l'intervalle $\left[0 ; \frac{\pi }{2}\right]$.

A la calculatrice on trouve :

$\sin\left(0,25\right) \approx 0,247$

$\sin\left(0,26\right) \approx 0,257$

donc $0,25 < \alpha < 0,26$

$\cos^{2}\alpha =1 - \sin^{2}\alpha =1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{16}$

Comme $\alpha \in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, son cosinus est positif donc :

♦  $\cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$

♦  $\cos \left( \pi +\alpha \right) = - \cos \alpha = - \frac{\sqrt{15}}{4}$

On utilise les formules de duplication :

$\sin 2\alpha =2 \sin\alpha \cos\alpha =2\frac{\sqrt{15}}{4}\times \frac{1}{4}$

♦  $\sin 2\alpha =\frac{\sqrt{15}}{8}$

$\cos 2\alpha =\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha =\frac{15}{16} - \frac{1}{16}=\frac{14}{16}$

♦  $\cos 2\alpha =\frac{7}{8}$