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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Etude de la fonction tangente

On définit la fonction tangente (tan\tan) par :

tan(x)=sin(x)cos(x)\tan\left(x\right)=\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}

  1. Sur quel ensemble DD la fonction tangente est elle définie ?

  2. Montrer que la fonction tangente est périodique de période π\pi .

    Par la suite on étudiera la fonction tangente sur l'intervalle I=]π2;π2[I=\left] - \frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2}\right[.

  3. Montrer que la fonction tangente est dérivable sur II et que pour tout xIx \in I :

    tan(x)=1cos2(x)=1+tan2(x)\tan^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{\cos^{2}\left(x\right)}=1+\tan^{2}\left(x\right)

  4. Calculer limxπ/2+tan(x)\lim\limits_{x\rightarrow - \pi /2+}\tan\left(x\right) et limxπ/2tan(x)\lim\limits_{x\rightarrow \pi /2 - }\tan\left(x\right).

    (On rappelle que la notation « xπ/2+x\rightarrow - \pi /2+ » signifie : « xπ/2x\rightarrow - \pi /2 et x>π/2x > - \pi /2 »

    et « xπ/2x\rightarrow \pi /2 - » signifie : « xπ/2x\rightarrow \pi /2 et x<π/2x < \pi /2 »)

  5. Tracer le tableau de variation de la fonction tangente sur l'intervalle II.

  6. Tracer la courbe de la fonction tangente sur l'intervalle II.
    A partir de cette courbe, comment obtiendrait-on la courbe complète de la fonction tangente sur R\mathbb{R}?