Fonctions trigonométriques
1. Rappels
Dans toute la suite, le plan est muni d'un repère orthonormé (O;OI,OJ).
On oriente le cercle trigonométrique (cercle de centre O et de rayon 1) dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).
Définition
Soit N un point du cercle trigonométrique et x une mesure en radians de l'angle (OI,ON).
On appelle cosinus de x, noté cosx l'abscisse du point N.
On appelle sinus de x, noté sinx l'ordonnée du point N.
Remarque
Pour tout réel x :
−1⩽cosx⩽1
−1⩽sinx⩽1
(cosx)2+(sinx)2=1 (d'après le théorème de Pythagore).
Quelques valeurs de sinus et de cosinus
x | 0 | 6π | 4π | 3π | 2π | π |
cosx | 1 | 2√3 | 2√2 | 21 | 0 | −1 |
sinx | 0 | 21 | 2√2 | 2√3 | 1 | 0 |
Théorème
Soit a un réel fixé.
Les solutions de l'équation cos(x)=cos(a) sont les réels de la forme :
a+2kπ ou −a+2kπ où k décrit Z
Les solutions de l'équation sin(x)=sin(a) sont les réels de la forme :
a+2kπ ou π−a+2kπ où k décrit Z
Exemple
Soit l'équation sin(x)=21.
Comme sin6π=21, l'équation peut s'écrire sin(x)=sin6π.
D'après le théorème précédent, l'ensemble des solutions est :
S={6π+2kπ,65π+2kπ∣k∈Z}.
2. Fonctions sinus et cosinus
Définition
La fonction, définie sur R, qui à tout réel x associe son cosinus : x↦cos(x) est appelée fonction cosinus.
La fonction, définie sur R, qui à tout réel x associe son sinus : x↦sin(x) est appelée fonction sinus.
Formules de base
Pour tout réel x :
On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π.
cos(−x)=cos(x) (la fonction cosinus est paire)
sin(−x)=−sin(x) (la fonction sinus est impaire)
Remarque
A partir des formules de base on peut montrer d'autres formules; par exemple :
cos(2π−x)=cos(−x+2π)=−sin(−x)=sin(x)
sin(2π−x)=sin(−x+2π)=cos(−x)=cos(x)
etc.
Formules d'addition
Pour tous réels a et b :
cos(a+b)=cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b)
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
Remarque
En remplaçant b par −b et en utilisant la parité des fonctions sinus et cosinus on obtient les formules de soustraction:
cos(a−b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
sin(a−b)=sin(a)cos(b)−cos(a)sin(b)
Propriété (formules de duplication)
Pour tout réel a :
cos(2a)=cos2(a)−sin2(a)=2cos2(a)−1=1−2sin2(a)
sin(2a)=2sin(a)cos(a).
Remarques
On démontre ces formules en posant b=a dans les formules d'addition et en utilisant sin2(a)+cos2(a)=1.
Rappel : sin2(a) et cos2(a) sont des écritures simplifiées pour (sin(a))2 et (cos(a))2.
3. Etude des fonctions sinus et cosinus
Théorème
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur R et leurs dérivées sont :
sin′=cos
cos′=−sin
Propriétés
Soient a et b deux réels quelconques. Les fonctions f et g définies sur R par :
sont dérivables sur R et :
Plus généralement, si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et f et g définies sur I par :
alors f et g sont dérivables sur I et :
f′(x)=u′(x)×cos(u(x))
g′(x)=−u′(x)×sin(u(x))
Limites
Les fonctions sinus et cosinus ne possèdent pas de limite quand x→±∞
Par contre on démontre le résultat suivant :
x→0limxsin(x)=1
Les fonctions sinus et cosinus étant périodiques, il suffit de les étudier sur un intervalle d'amplitude 2π, par exemple [−π;π].
Pour obtenir la courbe complète, on effectue ensuite des translations de vecteurs ±2πi⃗.
Fonction sinus
Tableau de variation de la fonction sinus
Représentation graphique de la fonction sinus
Fonction cosinus
Tableau de variation de la fonction cosinus
Représentation graphique de la fonction cosinus
Remarque
La relation sin(x+2π)=cos(x) montre que la courbe de la fonction sinus se déduit de la courbe de la fonction cosinus par une translation de vecteur 2πi⃗.
Position relative des deux courbes