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Seconde

difficulté moyenneExercice corrigé

Forme canonique – Factorisation

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^{2}-4x+3

  1. Montrer que pour tout réel x : f\left(x\right)=\left(x-2\right)^{2}-1
  2. f admet elle un maximum? un minimum? Si oui lequel.
  3. Factoriser f\left(x\right). Résoudre l’équation f\left(x\right)=0

Corrigé

  1. f\left(x\right)=x^{2}-4x+3=x^{2}-4x+4-1
    x^{2}-4x+4 est une identité remarquable : x^{2}-4x+4=\left(x-2\right)^{2}
    Donc :
    f\left(x\right)=\left(x-2\right)^{2}-1
  2. \left(x-2\right)^{2} est positif ou nul pour tout x \in \mathbb{R} donc :
    \left(x-2\right)^{2}-1 \geqslant -1
    Par ailleurs f\left(2\right)=-1 donc f admet un minimum qui vaut -1.
    Ce minimum est atteint pour x=2.
    (Par contre f n’admet pas de maximum)
    On pouvait également utiliser le résultat du cours qui dit que le coefficient de x^{2} est positif. Donc la fonction admet un minimum. Ce minimum est atteint pour x=-\frac{b}{2a}=2
  3. \left(x-2\right)^{2}-1 est une identité remarquable du type a^{2}-b^{2}.
    \left(x-2\right)^{2}-1=\left[\left(x-2\right)-1\right]\left[\left(x-2\right)+1\right]=\left(x-3\right)\left(x-1\right)
    f\left(x\right) est nul si et seulement si \left(x-3\right)\left(x-1\right)=0
    C’est une « équation-produit ». Il y a deux solutions :
    x-3=0 c’est à dire x=3
    x-1=0 c’est à dire x=1
    L’ensemble des solutions est S=\left\{1 ; 3\right\}
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Dans ce chapitre...

Cours

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