Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Forme canonique - Factorisation

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x24x+3f\left(x\right)=x^{2} - 4x+3

  1. Montrer que pour tout réel xx : f(x)=(x2)21f\left(x\right)=\left(x - 2\right)^{2} - 1

  2. ff admet elle un maximum? un minimum? Si oui lequel.

  3. Factoriser f(x)f\left(x\right). Résoudre l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0

Corrigé

  1. f(x)=x24x+3=x24x+41f\left(x\right)=x^{2} - 4x+3=x^{2} - 4x+4 - 1

    x24x+4x^{2} - 4x+4 est une identité remarquable : x24x+4=(x2)2x^{2} - 4x+4=\left(x - 2\right)^{2}

    Donc :

    f(x)=(x2)21f\left(x\right)=\left(x - 2\right)^{2} - 1

  2. (x2)2\left(x - 2\right)^{2} est positif ou nul pour tout xRx \in \mathbb{R} donc :

    (x2)211\left(x - 2\right)^{2} - 1 \geqslant - 1

    Par ailleurs f(2)=1f\left(2\right)= - 1 donc ff admet un minimum qui vaut 1 - 1.

    Ce minimum est atteint pour x=2x=2.

    (Par contre ff n'admet pas de maximum) On pouvait également utiliser le résultat du cours qui dit que le coefficient de x2x^{2} est positif. Donc la fonction admet un minimum. Ce minimum est atteint pour x=b2a=2x= - \frac{b}{2a}=2

  3. (x2)21\left(x - 2\right)^{2} - 1 est une identité remarquable du type a2b2a^{2} - b^{2}.

    (x2)21=[(x2)1][(x2)+1]=(x3)(x1)\left(x - 2\right)^{2} - 1=\left[\left(x - 2\right) - 1\right]\left[\left(x - 2\right)+1\right]=\left(x - 3\right)\left(x - 1\right)

    f(x)f\left(x\right) est nul si et seulement si (x3)(x1)=0\left(x - 3\right)\left(x - 1\right)=0

    C'est une "équation-produit". Il y a deux solutions :

    x3=0x - 3=0 c'est à dire x=3x=3

    x1=0x - 1=0 c'est à dire x=1x=1

    L'ensemble des solutions est S={1;3}S=\left\{1 ; 3\right\}