Exercice corrigéSoit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^{2}-4x+3
- Montrer que pour tout réel x : f\left(x\right)=\left(x-2\right)^{2}-1
- f admet elle un maximum? un minimum? Si oui lequel.
- Factoriser f\left(x\right). Résoudre l'équation f\left(x\right)=0
Corrigé
- f\left(x\right)=x^{2}-4x+3=x^{2}-4x+4-1
x^{2}-4x+4 est une identité remarquable : x^{2}-4x+4=\left(x-2\right)^{2}
Donc :
f\left(x\right)=\left(x-2\right)^{2}-1 - \left(x-2\right)^{2} est positif ou nul pour tout x \in \mathbb{R} donc :
\left(x-2\right)^{2}-1 \geqslant -1
Par ailleurs f\left(2\right)=-1 donc f admet un minimum qui vaut -1.
Ce minimum est atteint pour x=2.
(Par contre f n'admet pas de maximum)
On pouvait également utiliser le résultat du cours qui dit que le coefficient de x^{2} est positif. Donc la fonction admet un minimum. Ce minimum est atteint pour x=-\frac{b}{2a}=2 - \left(x-2\right)^{2}-1 est une identité remarquable du type a^{2}-b^{2}.
\left(x-2\right)^{2}-1=\left[\left(x-2\right)-1\right]\left[\left(x-2\right)+1\right]=\left(x-3\right)\left(x-1\right)
f\left(x\right) est nul si et seulement si \left(x-3\right)\left(x-1\right)=0
C'est une "équation-produit". Il y a deux solutions :
x-3=0 c'est à dire x=3
x-1=0 c'est à dire x=1
L'ensemble des solutions est S=\left\{1 ; 3\right\}
