Forme canonique – Factorisation

Corrigé

1. f\left(x\right)=x^{2}-4x+3=x^{2}-4x+4-1
   x^{2}-4x+4 est une identité remarquable : x^{2}-4x+4=\left(x-2\right)^{2}
   Donc :
   f\left(x\right)=\left(x-2\right)^{2}-1
2. \left(x-2\right)^{2} est positif ou nul pour tout x \in \mathbb{R} donc :
   \left(x-2\right)^{2}-1 \geqslant -1
   Par ailleurs f\left(2\right)=-1 donc f admet un minimum qui vaut -1.
   Ce minimum est atteint pour x=2.
   (Par contre f n’admet pas de maximum)
   On pouvait également utiliser le résultat du cours qui dit que le coefficient de x^{2} est positif. Donc la fonction admet un minimum. Ce minimum est atteint pour x=-\frac{b}{2a}=2
3. \left(x-2\right)^{2}-1 est une identité remarquable du type a^{2}-b^{2}.
   \left(x-2\right)^{2}-1=\left[\left(x-2\right)-1\right]\left[\left(x-2\right)+1\right]=\left(x-3\right)\left(x-1\right)
   f\left(x\right) est nul si et seulement si \left(x-3\right)\left(x-1\right)=0
   C’est une « équation-produit ». Il y a deux solutions :
   x-3=0 c’est à dire x=3
   x-1=0 c’est à dire x=1
   L’ensemble des solutions est S=\left\{1 ; 3\right\}