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Polynômes et équations du second degré Exercices

Forme canonique – Factorisation

Durée estimée

10 minutes

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Objectifs travaillés

Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=x^{2} - 4x+3 $

Montrer que pour tout réel $ x $ : $ f\left(x\right)=\left(x - 2\right)^{2} - 1 $
$ f $ admet-elle un maximum ? un minimum ? Si oui lequel.
Factoriser $ f\left(x\right) $. Résoudre l'équation $ f\left(x\right)=0 $

Corrigé

$ f\left(x\right)=x^{2} - 4x+3=x^{2} - 4x+4 - 1 $

$ x^{2} - 4x+4 $ est une identité remarquable : $ x^{2} - 4x+4=\left(x - 2\right)^{2} $

Donc :

$ f\left(x\right)=\left(x - 2\right)^{2} - 1 $
$ \left(x - 2\right)^{2} $ est positif ou nul pour tout $ x \in \mathbb{R} $ donc :

$ \left(x - 2\right)^{2} - 1 \geqslant - 1 $

Par ailleurs $ f\left(2\right)= - 1 $ donc $ f $ admet un minimum égal à $ - 1 $, atteint pour $ x=2 $.

($ f $ n'admet pas de maximum.) On pouvait également utiliser le résultat du cours : comme le coefficient de $ x^{2} $ est positif, la fonction admet un minimum, atteint pour $ x= - \dfrac{b}{2a}=2 $.
$ \left(x - 2\right)^{2} - 1 $ est une identité remarquable du type $ a^{2} - b^{2} $.

$ \left(x - 2\right)^{2} - 1=\left[\left(x - 2\right) - 1\right]\left[\left(x - 2\right)+1\right]=\left(x - 3\right)\left(x - 1\right) $

$ f\left(x\right) $ est nul si et seulement si $ \left(x - 3\right)\left(x - 1\right)=0 $

C'est une « équation-produit ». Il y a deux solutions :

$ x - 3=0 $ c'est à dire $ x=3 $

$ x - 1=0 $ c'est à dire $ x=1 $

L'ensemble des solutions est $\mathbf{S=\left\{1~;~3\right\}}$.