Exercice corrigéSoit la fonction f définie par f\left(x\right)=\frac{x+1}{x+2}.
- Quel est l’ensemble de définition \mathscr D_{f} de f ?
- Montrer que pour tout x \in \mathscr D_{f} :
f\left(x\right)=1-\frac{1}{x+2} - Montrer que f est strictement croissante sur \left]-2 ; +\infty \right[ puis sur .\left]-\infty ; -2\right[
Corrigé
- f est définie si et seulement si son dénominateur est différent de 0 . Or :
x+2 = 0 \Leftrightarrow x = -2L’ensemble de définition de f est donc D_f = \mathbb{R} \backslash \{-2\}
(on peut également écrire D_f = ]- \infty ; -2[ \cup ]-2 ; + \infty [ )
- Calculons 1-\frac{1}{x+2} (en réduisant au même dénominateur) :
1-\frac{1}{x+2}=\frac{x+2}{x+2}-\frac{1}{x+2}
\phantom{1-\frac{1}{x+2}}=\frac{x+2-1}{x+2}
\phantom{1-\frac{1}{x+2}}=\frac{x+1}{x+2} = f(x)Donc : f\left(x\right)=1-\frac{1}{x+2}
Rappel (Définition)
La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle I si pour tous réels x_1 et x_2 appartenant à I tels que x_1 < x_2 on a f\left(x_1\right) < f\left(x_2\right).
(voir fiche de cours)Sur l’intervalle \left]-2 ; +\infty \right[
Si -2 < x_1 < x_2 alors :
en ajoutant 2 à chaque membre :
0 < x_1 + 2 < x_2 + 2en prenant l’inverse des deux derniers membres (on change le sens de l’inégalité car la fonction inverse est décroissante sur \left]0 ; +\infty \right[) :
\frac{1}{x_1 + 2} > \frac{1}{x_2 + 2}en multipliant chaque membre par -1 (on change une nouvelle fois le sens de l’inégalité car -1 est négatif) :
-\frac{1}{x_1 + 2} < -\frac{1}{x_2 + 2}en ajoutant 1 à chaque membre :
1-\frac{1}{x_1 + 2} < 1-\frac{1}{x_2 + 2}c’est à dire :
f(x_1) < f(x_2)-2 < x_1 < x_2 entraîne f(x_1) < f(x_2) donc f est strictement croissante sur \left]-2 ; +\infty \right[
La démonstration est analogue sur \left]-\infty ; -2\right[.
Le tableau de variation de f est :
x {-}\infty -2 +\infty f 
