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Seconde

difficileExercice corrigé

Etude des variations d'une fonction homographique

Soit la fonction f définie par f\left(x\right)=\frac{x+1}{x+2}.

  1. Quel est l'ensemble de définition \mathscr D_{f} de f ?
  2. Montrer que pour tout x \in \mathscr D_{f} :
    f\left(x\right)=1-\frac{1}{x+2}
  3. Montrer que f est strictement croissante sur \left]-2 ; +\infty \right[ puis sur .\left]-\infty ; -2\right[

Corrigé

  1. f est définie si et seulement si son dénominateur est différent de 0 . Or :
    x+2 = 0 \Leftrightarrow x = -2

    L'ensemble de définition de f est donc D_f = \mathbb{R} \backslash \{-2\}

    (on peut également écrire D_f = ]- \infty ; -2[ \cup ]-2 ; + \infty [ )

  2. Calculons 1-\frac{1}{x+2} (en réduisant au même dénominateur) :
     
    1-\frac{1}{x+2}=\frac{x+2}{x+2}-\frac{1}{x+2}
    \phantom{1-\frac{1}{x+2}}=\frac{x+2-1}{x+2}
    \phantom{1-\frac{1}{x+2}}=\frac{x+1}{x+2} = f(x)

    Donc : f\left(x\right)=1-\frac{1}{x+2}

  3. Rappel (Définition)

    La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle I si pour tous réels x_1 et x_2 appartenant à I tels que x_1 < x_2 on a f\left(x_1\right) < f\left(x_2\right).
    (voir fiche de cours)

    Sur l'intervalle \left]-2 ; +\infty \right[

    Si -2 < x_1 < x_2 alors :

    en ajoutant 2 à chaque membre :
    0 < x_1 + 2 < x_2 + 2

    en prenant l'inverse des deux derniers membres (on change le sens de l'inégalité car la fonction inverse est décroissante sur \left]0 ; +\infty \right[) :
    \frac{1}{x_1 + 2} > \frac{1}{x_2 + 2}

    en multipliant chaque membre par -1 (on change une nouvelle fois le sens de l'inégalité car -1 est négatif) :
    -\frac{1}{x_1 + 2} < -\frac{1}{x_2 + 2}

    en ajoutant 1 à chaque membre :
    1-\frac{1}{x_1 + 2} < 1-\frac{1}{x_2 + 2}

    c'est à dire :
    f(x_1) < f(x_2)

    -2 < x_1 < x_2 entraîne f(x_1) < f(x_2) donc f est strictement croissante sur \left]-2 ; +\infty \right[

    La démonstration est analogue sur \left]-\infty ; -2\right[.

    Le tableau de variation de f est :

    x{-}\infty-2+\infty
    f  
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